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[[ガラパゴ累乗定理]]により $$z^n$$ は 実成分と $$+1$$成分 と $$+z$$ 成分に分離できるため
:$$\displaystyle\cos(x,e^{i\theta})=1-\sum_{n=2}^\infty\frac{x^n}{n!}\left[\sum_{k=0}^{\lfloor (n-2)/2\rfloor}\binom{n-k-2}{k}(-1)^k\left(2\cos\theta\right)^{n-2k-2}\right]$$
:$$\displaystyle\sin(x,e^{i\theta})=1+\sum_{n=2}^\infty\frac{x^n}{n!}\left[\sum_{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor}\binom{n-k-1}{k}(-1)^k\left(2\cos\theta\right)^{n-2k-1}\right]$$
$$1$$ の原始 $$2$$ 乗根 $$z=e^{\frac{2\pi i}{2}}$$ のとき（$$2\cos\theta=-2$$）
:$$\displaystyle\cos\left(x,-1\right)=(1-+x)e^{-x}$$
:$$\displaystyle\sin\left(x,-1\right)=xe^{-x}$$
\mathrm{exps}(x,n,m)
=&\left(\sum_{k=0}^\infty\frac{x^{kn}}{(kn)!}\right)^{(m)}\quad\color{#f00}{\leftarrow~(m)~は~m~階微分の意}\\
=&\frac{1}{n}\sum_{k=0}^\infty\left([\left(e^{\frac{m}{n}\cdot2\pi i}\right)^ke^{\left(e^{\frac{2\pi i}{n}}\right)^kx}\right)]\\=&\frac{1}{n}\sum_{k=0}^\infty\left([\exp\left(\frac{2km\pi}{n}i+\exp\left(\frac{2k\pi}{n}i\right)x\right)\right)]
\end{align*}$$
