差分

多様体型オブジェクト上の座標または座標によって示される大きさを '''数''' と呼ぶ。一般に多様体といえば「局所的にはユークリッド空間と見なせるような図形や位相空間」と表現されるが、ここでいう多様体型オブジェクトとは数直線や複素平面、線形空間のような多様体（の一部）とみなして扱うことができるオブジェクト（図形）の総称で、'''座標'''・や '''大きさ姿勢'''・'''方向'''（姿勢） という概念を適用可能という特徴を持つ。このようなオブジェクトに対し一定のルールに従って座標をマッピングしたとき、そのルールと座標全体を総称して といった概念を適用可能という特徴を持つ。姿勢とは方向性や大きさなどによって示される座標系の状態のことで、このようなオブジェクトに対し一定のルールに従って座標をマッピングしたとき、そのルールと座標全体を総称して '''座標系''' と呼ぶ。

 * 任意の点として表される座標を基準の座標任意の点として表される座標系上の座標を基準座標(原点)とし、$$\mathrm{0}$$ と名付ける。* 任意のテンソルとして表される大きさを基準の大きさとし、任意のテンソルとして表される座標系の姿勢を基準姿勢(基底)とし、$$\mathrm{P}$$ と名付ける。

加減算は「基準の大きさ 加減算は「基準姿勢 $$\mathrm{P}$$ が同一で 原点の座標 が一致し、基準座標 $$\mathrm{0}$$ の異なる座標系 A と B に対する演算」に該当し、主に'''加算'''と'''減算'''の二種類に分けられる。

:A における 座標 a が B における 原点の座標 基準座標 $$\mathrm{0}$$ のとき、B に一致するとき、B における 座標 b は A における 座標 a＋b

:A における 座標 a が B における 座標 b のとき、B に一致するとき、B における 原点の座標 基準座標 $$\mathrm{0}$$ は A における 座標 a－b

乗除算は「原点の座標 乗除算は「基準座標 $$\mathrm{0}$$ が同一で 基準の大きさ が一致し、基準姿勢 $$\mathrm{P}$$ の異なる座標系 A と B に対する演算」に該当し、主に'''乗算'''と'''除算'''の二種類に分けられる。

:A における 大きさ 姿勢 a が B における 基準の大きさ 基準姿勢 $$\mathrm{P}$$ のとき、B に一致するとき、B における 大きさ 姿勢 b は A における 大きさ 姿勢 a×b

:A における 大きさ 姿勢 a が B における 大きさ 姿勢 b のとき、B に一致するとき、B における 基準の大きさ 基準姿勢 $$\mathrm{P}$$ は A における 大きさ 姿勢 a÷b

例えば、加減算は直線の並進対称性である。「直線をどれだけ動かすか」を1つ指定しこれをaとすると、これは既存の数学では直線の持つ対称性の1つとなる。ガラパゴ数学では動かす前と後の直線を 例えば、加減算は直線の並進対称性である。「直線をどれだけ動かすか」を1つ指定しこれを a とすると、これは既存の数学では直線の持つ対称性の1つとなる。ガラパゴ数学では動かす前と後の直線を f(x)=a+x という関係性で同一視し、これを足し算とみなす。