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黄金数を $$z=\phi^{\pm1}=\left(\frac12\right)+\left(\frac{\sqrt{-5}}{2}\right)i$$ と解釈して本定理を適用すると
$$r=2\times\frac12=1$$、$$l=-\left(\frac14-\frac54\right)=-1$$ となるため
$$z^n=A_{n}z+A_{n-1}\quad\begin{cases}
A_0=0\\
A_1=1\\
A_{k}=(A_{k-1})r+(A_{k-2})
\end{cases}~または~\begin{pmatrix}A_{n+1}\\A_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}^n\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$$
