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$$r=2\times\frac12=1$$、$$l=-\left(\frac14-\frac54\right)=1$$ となるため
編集の要約なし
黄金数を $$z=\phi^{\pm1}=\left(\frac12\right)+\left(\frac{\sqrt{-5}}{2}\right)i$$ と解釈して本定理を適用すると
:$$r=2\times\frac12=1$$、 $$l=-\left(\frac12-\frac{\sqrt{-5}}2i\right)\left(\frac12+\frac{\sqrt{-5}}2i\right)=-\left(\frac14+\frac{-5}4\right)=1$$ であるため、 :$$z^n=A_{n}z+A_{n-1}\quad\begin{cases}
A_0=0\\
A_1=1\\
A_{k}=(A_{k-1})+(A_{k-2})
\end{cases}~$$ または~ :$$\begin{pmatrix}A_{n+1}\\A_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}^n\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$$
を得る。この $$A_n$$ はフィボナッチ数列と同一であり、黄金数とフィボナッチ数列の関係式
:$$\phi^n=F_n\phi+F_{n-1}$$
に一致する。
