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=&\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(xz)^n}{n!}\\
=&\frac{(xz)^0}{0!}+\frac{(xz)^1}{1!}+\sum_{n=2}^\infty\frac{(xz)^n}{n!}\\
=&1+zxz+\sum_{n=2}^\infty\frac{x^n}{n!}z^n\\
\end{align*}$$
[[ガラパゴ累乗定理]]により $$z^n$$ は $$+1$$ 成分 と $$+z$$ 成分に分離できるため
:$$\displaystyle\cos(x,e^{i\theta})=1-\sum_{n=2}^\infty\frac{x^n}{n!}\left[\sum_{k=0}^{\lfloor (n-2)/2\rfloor}\binom{n-k-2}{k}(-1)^k\left(2\cos\theta\right)^{n-2k-2}\right]$$
:$$\displaystyle\sin(x,e^{i\theta})=1x+\sum_{n=2}^\infty\frac{x^n}{n!}\left[\sum_{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor}\binom{n-k-1}{k}(-1)^k\left(2\cos\theta\right)^{n-2k-1}\right]$$
