という状態で左辺は$$y$$のみの式、右辺は$$x$$のみの式であるのでそのように呼ばれる。
====積分因子法====
この方法は積の微分則$$\{f(x)g(x)\}'=f'(x)g(x)+f(x)g'(g)$$を巧みに使った手法である。を巧みに使った手法である。微分可能な関数$$u$$について$$\{f(x)u(x)\}'=f'(x)u(x)+f(x)u'(x)$$であるので元の微分方程式の両辺に$$u(x)$$を書けたをかけた
\[f'(x)u(x)+f(x)g(x)u(x)=h(x)u(x)\]
と見比べて$$g(x)u(x)=u'(x)$$であると嬉しい。なぜならこの関係が成り立つとき
が成り立つので両辺を積分した後に$$u(x)$$で割れば
\[f(x)=\frac1{u(x)}\left(\int h(x)u(x)\,\mathrm dx+\mathrm C\right)\]
として$$f$$が求まるからである。$$u'(x)=g(x)u(x)$$を変数分離法を用いて解くと$$A$$を任意の定数として
\[u(x)=A\exp\left(\int g(x)\,\mathrm dx\right)\]
となるので実際この方法はうまく行き元の微分方程式を解くことができる。ここで注意しなければならないことはgが定まらないように見えるときがあることである。実際に次の微分方程式となるので実際この方法はうまく行き元の微分方程式を解くことができる。また、この$$u$$は両辺にかけて用いるため定数倍の差は本質的にはないことになる。つまり両辺にかけるべき関数を改めて$$U(x)=u(x)/A$$などとすれば良い。ただし$$A=0$$の時は両辺に$$0$$をかける無意味な変形を表しているので考えない。また、注意しなければならないこととして$$u$$が微分可能な関数として定まらないように見えるときがある。実際に次の微分方程式
\[y'+\frac yx=2\]
について考えよう。先の方法をそのまま用いるとについて考えよう。分母が$$0$$となることはないので$$x\neq0$$である。先の方法をそのまま用いると\[u(x)=A\exp\left(\int\frac1x\,\mathrm dx\right)=Aee^{\log|x|}=A|x|\]となるのでとなるように見えるので$$u(x)$$が微分不可能であったりが微分不可能であるかのように思われる。しかし、実際は複素関数論などの立場から見ると$$x\ne0$$によって場合分けをしたりする必要があるように見える。しかし、実際は両辺にかけるので符号の差異は両辺にうまく$$-1$$をかけることで解消され両辺にの時\[\exp\left(\int\frac1x\,\mathrm dx\right)=x\]が成立するので$$u(x)=x$$をかけた場合と全く同じであることが分かる。つまり、考えるべき微分方程式はとすれば良いのである。従って考えるべき微分方程式は
\[|x|y'+\frac{|x|}xy=2|x|\]
ではなく