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加えて、線型斉次でない線型常微分方程式を線型非斉次常微分方程式と呼ぶ。線型非斉次はその微分方程式のある一つの解を用いることで線型斉次に帰着される。また、線型斉次でない線型常微分方程式を線型非斉次常微分方程式と呼ぶ。線型非斉次はその微分方程式のある一つの解を用いることで線型斉次に帰着される。$$f$$についての線型非斉次常微分方程式は$$g_n(x)=1$$と$$k=0,1,2,\cdots,n-1$$に対応する関数$$g_k$$, 恒等的に$$0$$ではない関数$$h$$を用いて一般に\[\left(\sum_{k=0}^ng_k(x)\frac{d^nk}{dx^nk}\right)f(x)=h(x)\]
\[v''(x)+g_1(x)v'(x)+g_2(x)v(x)=0\]
が成立する。上の式の$$k$$倍と下の式の$$l$$倍を加えて整理すると
\[(ku(x)+lv(x))''+g_1(x)(ku(x)+lv(x))'+g_2(x)(ku(x)+lv(x))=0\]
が分かるが、これは解同士の線型結合$$ku(x)+lv(x)$$もまた元の微分方程式の解であることを示している。
と書ける。ここでこの方程式の解の一つとして$$u$$を見つければそれは
\[\left(\sum_{k=0}^ng_k(x)\frac{d^nk}{dx^nk}\right)u(x)=h(x)\]
を満たしている。この式を元の式から引くと
\[\left(\sum_{k=0}^ng_k(x)\frac{d^nk}{dx^nk}\right)(f(x)-u(x))=0\]
であるので$$f_1(x)=f(x)-u(x)$$と置くとこれは線型斉次常微分方程式
\[\left(\sum_{k=0}^ng_k(x)\frac{d^nk}{dx^nk}\right)f_1(x)=0\]を解くことによって求められる。そして$$f(x)=f_1(x)+u(x)$$であるので元の線型非斉次常微分方程式を解くことができたことになる。であるので元の線型非斉次常微分方程式を解くことができる。
==偏微分方程式==
