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y&=&x+\frac{\mathrm C}x
\end{eqnarray*}\]
として解くことができる。
===二階線型定数係数非斉次常微分方程式===
関数$$f$$についての二階線型定数係数非斉次常微分方程式は定数$$a$$及び$$b$$と恒等的に$$0$$でない関数$$g$$を用いて
\[f''(x)+af'(x)+bf(x)=g(x)\]
と表せる。線型非斉次であるので同様に解の一つ$$u$$を用いて$$y(x)=f(x)-u(x)$$と置くと二階線型斉次常微分方程式
\[y''+ay'+by=0\]
に帰着される。ここで次のようにして二つの定数$$\alpha$$, $$\beta$$を定める。
\[\begin{cases}\alpha+\beta&=-a\\\alpha\beta&=b\end{cases}\]
この$$\alpha$$, $$\beta$$は解と係数の関係を考えることにより$$t$$についての二次方程式$$t^2+at+b=0$$の解であることが分かる。さて、この$$\alpha$$及び$$\beta$$を元の微分方程式に代入し整理すると
\[y''-\beta y'=\alpha(y'-\beta y)\]
となるがここで$$u(x)=y'-\beta y$$と置くとこの微分方程式は
\[u'=\alpha u\]
となるので簡単に解けて$$A_1$$を任意の定数として$$u(x)=A_1e^{\alpha x}$$となる。次に$$u(x)=y'-\beta y$$であるので
\[y'-\beta y=A_1e^{\alpha x}\]
を解けばよい。積分因子法を用いると両辺に$$e^{-\beta x}$$をかければよいことが分かるので
\[\begin{eqnarray*}
y'-\beta y&=&A_1e^{\alpha x}\\
y'e^{-\beta x}-\beta ye^{-\beta x}&=&A_1e^{(\alpha-\beta)x}\\
(ye^{-\beta x})'&=&A_1e^{(\alpha-\beta)x}
\end{eqnarray*}\]
と計算できる。しかし、ここで注意すべきことがある。それは$$\alpha=\beta$$となるような時とそうでない時で右辺の積分が全く異なることである。$$\alpha\neq\beta$$の時、両辺を積分して$$y$$について解くと$$B$$を任意の定数, $$A=A_1/(\alpha-\beta)$$として
\[y(x)=Ae^{\alpha x}+Be^{\beta x}\]
となる。$$\alpha=\beta$$の時$$e^{(\alpha-\beta)x}=1$$であるので両辺を積分して$$y$$について解くと$$B$$を任意の定数, $$A=A_1$$として
\[y=(Ax+B)e^{\alpha x}=(Ax+B)e^{\beta x}\]
として解くことができる。
