差分

'''ガラパゴ累乗定理'''（ガラパゴるいじょうていり）とは、複素数（多元数）（ガラパゴるいじょうていり）とは、複素数 $$z$$ の累乗は $$r=2z+\mathrmoverline{Rez}(z)$$ と $$l=|z|^2\cdot\overline{z}$$ より構成される代数的多項式 を元とする多項式より生成される実数を係数とする $$P$$、$$Q$$ を用いて $$Pz+Qz$$ という一次結合の形で表せるという定理である。の一次式で表せるという定理である。

複素数 $$z$$ の 整数 $$n$$ 乗は、$$rl=2z\cdotp\mathrmbar{Rez}(=|z)|^2$$ と $$lr=|z|^+\bar{z}=2\mathrm{Re}(z)$$ を用いて次のように表せる。 

:$$\begin{array}{l}\begin{pmatrix}z^n\\z^{n+1}\end{pmatrix}&=A_\begin{pmatrix}C_{n}&S_{n}\\C_{n+1}&S_{n+1}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\z\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}0&1\\-A_l&r\end{pmatrix}^n\begin{pmatrix}1\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1\\-z\cdotp\bar{z}&z+\bar{z}\end{pmatrix}^n\begin{pmatrix}1\\z\end{pmatrix}\quadend{array}$$  ここで得られる数列 :$$\begin{cases}A_0S_0=0\\A_1S_1=1\\A_S_{kn}=-l(A_S_{kn-12})+r-(A_S_{kn-21})l

z^1=&0+z\\z^2=&rz-l+rz\\z^3=&-rl+(-l+r^2-l)z-rl\\z^4=&-(-l+r^32)l+(-2rl)z-(+r^2-l3)lz\\z^5=&-(-2rl+r^43)l+(-3r^2l+l^2)z-(+r^3-2rl4)lz\\

:$$z^n=A_{n}z-A_{n-1}\quad\begin{cases}A_0S_0=0\\A_1S_1=1\\A_S_{kn}=(A_{k-1})r-(A_S_{kn-2})=(A_{k-1})+(2\cos\theta)-(A_S_{kn-21})

z^1&=0+z&\\z^2&=rz-1+rz\\&=-1+(2\cos\theta)z-1\\z^3&=-r+(-1+r^2-1)z-r\\&=-(2\cos\theta)+[(2\cos\theta)^2-1]z\\&=-(2\cos\theta)+[2\cos2\theta+1]z\\z^4&=-(-1+r^32)+(-2r+r^3)z\\&=-[(r2\cos\theta)^2-1)&=]+[(2\cos\theta)^3-2(2\cos\theta)]z\\&=-[2\cos2\theta+1]+[2(2\cos\theta+\cos3\theta)^2-1]z\\z^5&=-(-2r+r^43)+(-3r^2+1+r^4)z\\&=-[(r2\cos\theta)^3-2r2(2\cos\theta)&=]+[(2\cos\theta)^4-3(2\cos\theta)^2+1]z\\&=-[2(2\cos\theta+\cos3\theta)^3-]+[2(2\coscos2\theta+\cos4\theta)+1]z\\

$$\{a,b\in\mathbb{Z}\}、\{z\in\mathbb{C}\}$$ において、$$+1$$ と $$+i$$ を基底の元とする $$\mathbb{R}^2$$ 上の複素数 $$z=a+bi$$ を次のように二乗する。

z^2=&(a+bi)(a+bi)z\cdot z\\=&(a+bi)(2a-(a-bi))\bar{z}+\=&2a(abar{z}+bi)-(a+bi)(a-biz)z\\=&2a(a+bi)-(a^2+b^2)\bar{z}\=&2a(a+bicdotp z)-\sqrt{a^2+b^2}^2\\=&2(\mathrmbar{Rez}(+z)z-|z|^2\\

ここで、$$l=\bar{z}\cdotp z,~r=2(\mathrmbar{Rez}(+z)$$、$$l=|z|^2$$ と置くと

z^2=rz-l+rz

両辺に $$z$$ を乗じると $$z^3=-lz+rz^2-lz$$ となり、右辺に $$z^2=rz-1$$ を代入することで $$Pzl+Qrz$$ の形へと変形できる。この操作を再帰的に繰り返し、任意の整数乗を を代入することで一次結合の形へと変形できる。この操作を再帰的に繰り返すことで、任意の整数乗を同形へと帰結させられる。※この導出手順は、分配則や結合則を満たし共役同士の和と積を求めることができる数（四元数など）であれば $$Pz+Qz\in\mathbb{C}$$ の形へと帰結させて恒等式を得る。の範囲に限らず適用可能であることを示している。

上記は この $$z\cdot\bar{^2=-l+rz$$ は $$+1$$ と $$z}=|$$ を基底の元とする斜交座標形式の複素数であり、$$z|^2$$（の指し示す座標は $$(-l,r)$$、それぞれの元の指し示す座標は $$(1,0)$$ と $$(0,1)$$ である。ここで $$\bar{z}$$ は と $$z^2$$ を基底の元とする新たな斜交座標系を想定するとそれぞれの元が指し示す座標は旧座標系で $$(0,1)$$ と $$(-l,r)$ の共役）、すなわち「共役同士の積は偏角が相殺されて結果的に絶対値同士の積に一致する」という性質を利用したものであり、$ であるため、基底は $$\barbegin{pmatrix}0&-l\\1&r\end{pmatrix}$$ と表される。旧座標系の基底と比べると原点を中心に $$\mathrm{Arg}~z~(\mathrm{rad})$$ を用いて導出を書き改めるなら傾いた姿勢をとっているため、これを累乗することで任意の指数における基底の元の座標を得る。（[[ガラパゴ数学]]の乗算の項を参照）

:==幾何イメージ==複素平面上の $$0$$ を始点とし $$+1$$ を終点とする位置ベクトル $$\vec{s}$$ と、同じく $$0$$ を始点とし任意の複素数 $$z^2=z$$ を終点とする位置ベクトル $$\vec{t}$$ において、原点を中心として $$\cdot z=zvec{s}$$ と $$\left(2vec{t}$$ の成す角度の整数倍だけ $$\mathrmvec{Ret}(z)-$$ を回転させて得られる新たな位置ベクトル $$\barvec{zt'}$$ は、$$\right)=2vec{s}$$ と $$\mathrmvec{Ret}(z)z-|z|^2$$を基底の元とするベクトル空間上の１次結合の形で表現可能である。

==幾何への応用実数の累乗と数列==複素平面上において、$$z=\left(\frac{r}2\right)+\left(\mp\sqrt{l-\left(\frac{r}2\right)^2}\right)i$$ は $$z^2=-l+rz$$ の解 であり、 :$$l=\bar{z}\cdot z$$:$$r=\bar{z}+z$$ であるため、本定理より次の三項間漸化式による数列を得る。  :$$\begin{cases}S_0=0\\S_1=1\\S_{n}=-l(S_{n-2})+r(S_{n-1})\end{cases}$$  ここで、$$l\leqq\left(\frac{r}2\right)^2$$ のとき $$z$$ は実数となるため実際の虚部は $$0$$ を始点とし ということになる。  しかし、$$z=a+b=(a)+\left(-\sqrt{-b^2}\right)i$$ と虚部を任意に解釈した場合にも :$$l=\bar{z}\cdot z=a^2-b^2$$:$$r=\bar{z}+z=2a$$ であり、$$z^2=-(a^2-b^2)+2az$$ は $$z=a+b$$ において真である。  また、 $$\begin{pmatrix}C_{n}&S_{n}\\C_{n+1}&S_{n+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1\\-(a^2-b^2)&2a\end{pmatrix}^n$$ を終点とするベクトル あるいは $$\vecbegin{pmatrix}S_{n+1}\\S_{n}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2a&-(a^2-b^2)\\1&0\end{pmatrix}^n\begin{spmatrix}1\\0\end{pmatrix}$$ と、同じく より得られる数列  :$$\begin{cases}S_0=0\\S_1=1\\S_{n}=-(a^2-b^2)(S_{n-2})+2a(S_{n-1})\end{cases}$$  を用いても、一般項 $$S_{n}=\frac{\displaystyle(a+b)^n-(a-b)^n}{\displaystyle2b}$$ より  :$$\begin{array}{rl}z^n=&C_{n}+S_{n}z\\=&-(a^2-b^2)(S_{n-1})+(a+b)(S_{n})\\=&\displaystyle\frac{(a+b)[(a+b)^n-(a-b)^n]-(a^2-b^2)[(a+b)^{n-1}-(a-b)^{n-1}]}{2b}\\=&\displaystyle\frac{(a+b)[(a+b)^n-(a-b)^n]-(a+b)[(a-b)(a+b)^{n-1}-(a-b)^n]}{2b}\\=&\displaystyle\frac{(a+b)[(a+b)^n]-(a+b)[(a-b)(a+b)^{n-1}]}{2b}\\=&\displaystyle\frac{(a+b)[(a+b)^n-(a-b)(a+b)^{n-1}]}{2b}\\=&\displaystyle\frac{(a+b)^n[(a+b)-(a-b)]}{2b}\\=&(a+b)^n\end{array}$$ を始点とし実数ではない任意の複素数   と真であることを確認できる。  このことは、複素共役の捉え方を拡張することで実数の累乗にも本定理を応用可能であることを示している。   ===黄金数とフィボナッチ数列===  黄金数を $$\displaystyle z=\phi=\frac{1+\sqrt5}2=\frac12-\frac{\sqrt{-5}}{2}i$$ を終点とするベクトル とみなして解釈するならば  :$$l=\vecleft(\frac12+\frac{t\sqrt{-5}}2i\right)\left(\frac12-\frac{\sqrt{-5}}2i\right)=\left(\frac14+\frac{-5}4\right)=-1$$ は線形独立である。:$$r=\left(\frac12+\frac{\sqrt{-5}}2i\right)+\left(\vecfrac12-\frac{t\sqrt{-5}}2i\right)=1$$ を、原点を中心として   であるため、  $$\vecbegin{pmatrix}C_{n}&S_{n}\\C_{n+1}&S_{n+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1\\1&1\end{spmatrix}^n$$ と あるいは $$\vecbegin{pmatrix}S_{n+1}\\S_{n}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}^n\begin{tpmatrix}1\\0\end{pmatrix}$$ の成す角度の整数倍回転させて得られるベクトル より得られる  数列 $$\vecbegin{ucases}S_0=0\\S_1=1\\S_{n}=(S_{n-2})+(S_{n-1})\end{cases}$$ は、本定理によって または  一般項 $$S_{n}=\frac{\displaystyle\left(1+\sqrt{5}\right)^n-\left(1-\sqrt{5}\right)^n}{\vecdisplaystyle2^n\sqrt{s5}}$$  を用いて  :$$z^n=C_{n}+S_{n}z=(S_{n-1})+(S_{n})z\\$$  が導かれる。この $$S_n$$ と $$z^n$$ は黄金数とフィボナッチ数列の関係式  :$$\vecdisplaystyle F_n=\frac{t\phi^n-(-\phi)^{-n}}{\sqrt{5}}$$ を基底の元とするベクトル空間上に表現可能である。すなわち、次のような幾何イメージを得る。:$$\phi^n=F_{n-1}+F_n\phi$$  と同一であることが分かる。

ユークリッド平面上の三角形 $$\triangle OAB$$ において、長さが $$x$$ の辺 $$OA$$ と 長さが $$y$$ の辺 $$AB$$ の成す内角が $$\angle A=\theta~\mathrm{rad}$$ である場合、辺 $$OB$$ を $$O$$ を中心として $$\angle O$$ の偶数倍回転させ、それに伴って各辺の長さを伸縮（負数倍も可）して得られる新たな三角形の三辺比は $$x$$、$$y$$、$$cr=2\cos\theta$$ の整式で表せるという定理である。これは本定理の応用によって得られるものであるが、詳しくはの整式で表せるという定理である。本定理を用いることで容易に導出できるが、詳しくは[[ガラパゴ三辺比定理]]を参照のこと。 

$$+1$$ と $$z=e^{i\theta}$$ を理論上の基底の元（$$z$$ が実数であっても独立した元であるものとみなして区別）とする斜交座標系において、極座標 $$e^{xz}$$ の示す座標の実部と $$z$$ 部を得る関数として次のような等式を想定する。の示す座標を基底の元の線形結合で表現したときの各元の係数を得る関数として次のような等式を想定する。

:$$e^{xz}=\cos(x,z)cos_zx+z\sin(x,z)sin_zx$$

これらの関数 $$\cos(x,z)cos_zx$$ と $$\sin(x,z)sin_zx$$ のマクローリン展開形は、本定理によって示すことが可能である。詳しくはは、本定理と非常に密接な関係にある。詳しくは[[ガラパゴ三角関数]]を参照のこと。