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これらの関数 $$\cos(x,\frac{\theta}{2\pi})$$ と $$\sin(x,\frac{\theta}{2\pi})$$ は一般的な三角関数を斜交座標系で扱えるように拡張したものであり、$$\cos x=\cos(x,\frac14)$$、$$\sin x=\sin(x,\frac14)$$ ということになる。ここで特筆すべきは $$\frac{\theta}{2\pi}$$ が有理数である場合、これらの関数の級数展開形は左辺のマクローリン展開形に対しガラパゴ累乗定理を用いて導出可能ということである。詳しくはが有理数の場合、これらの関数はガラパゴ累乗定理を用いて級数展開可能である。詳しくは[[ガラパゴ三角関数]]を参照のこと。
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===ガラパゴ三角関数===
実数 $$+1$$ と複素数 $$z=e^{i\theta}$$ を基底の元とする $$\mathbb{R}^2$$（厳密にいえば $$\theta$$ によっては $$\mathbb{R}^2$$ を成さないが）を想定する。このとき、半径 $$e^{x\cos\theta}$$ として示される螺旋軌道上の座標について、偏角が $$x\sin\theta~(\mathrm{rad})$$ のときの実部と $$z$$ 部を次のように示す。
:$$e^{xz}=\cos(x,\frac{\theta}{2\pi})+z\sin(x,\frac{\theta}{2\pi})$$
