差分

実数 $$+1$$ と複素数 $$z=e^{i\theta}$$ を基底の元とする $$\mathbb{R}^2$$（厳密にいえば $$\theta$$ によっては $$\mathbb{R}^2$$ を成さないが）を想定する。このとき、半径 $$e^{x\cos\theta}$$ で示される螺旋軌道上の座標について、偏角が として示される螺旋軌道上の座標について、偏角が $$x\sin\theta~(\mathrm{rad})$$ である場合の実部と のときの実部と $$z$$ 部を次のように示す。

これらの関数 $$\cos(x,\frac{\theta}{2\pi})$$ と $$\sin(x,\frac{\theta}{2\pi})$$ は一般的な三角関数を斜交座標系で扱えるように拡張したものであり、$$\cos x=\cos(x,\frac14)$$、$$\sin x=\sin(x,\frac14)$$ ということになる。ここで特筆すべきは、ということになる。ここで特筆すべきは $$\frac{\theta}{2\pi}$$ が有理数である場合、これらの関数の級数展開形は左辺のマクローリン展開よりガラパゴ累乗定理を用いて導くことができるということである。詳しくはが有理数である場合、これらの関数の級数展開形は左辺のマクローリン展開形に対しガラパゴ累乗定理を用いて導出可能ということである。詳しくは[[ガラパゴ三角関数]]を参照のこと。