差分

実数 $$+1$$ と絶対値が １ である任意の複素数 $$z=e^{\frac{m}{n}\cdot2\pi i}\left(\equiv\mathbb{P}^\frac{m}{n}、\{n,m\in\mathbb{Z}^+\}\right)$$ を基底の元とする $$\mathbb{R}^2$$（（厳密にいえば、$$z$$ の偏角によっては厳密には の偏角によっては $$\mathbb{R}^2$$ を成さないが）を想定する。このとき、半径 $$e^{x\cos\left(2\pi\cdot\frac{m}{n}\right)}$$ で示される螺旋軌道上で、偏角が $$x\sin\left(2\pi\cdot\frac{m}{n}\right)~\mathrm{rad}$$ である場合の座標の実部と $$z$$ 部を次のように示す関数である。

これらの関数 $$\cos_\frac{m}{n}(x)$$ と $$\cos_\frac{m}{n}(x)$$ の級数展開は左辺のマクローリン展開形よりガラパゴ累乗定理を用いて導くことができるが、詳しくはの級数展開は左辺のマクローリン展開形よりガラパゴ累乗定理を用いて導くことができる。詳しくは[[ガラパゴ三角関数]]を参照のこと。