差分

'''ガラパゴ累乗定理'''（ガラパゴるいじょうていり）とは、複素数（あるいは多元数） （ガラパゴるいじょうていり）とは、複素数 $$z$$ の累乗は $$r=2z+\mathrmoverline{Rez}(z)$$ と $$l=|z|^2\cdot\overline{z}$$ の多項式 を元とする多項式より生成される実数を係数とする $$P$$、$$Q$$ を用いて $$Pz+Qz$$ の形で表わせるという定理である。の一次式で表せるという定理である。

[[ガラパゴ数学]]の主定理の一つで、実数 の主定理の一つで、$$+1$$ と複素数 と $$+z$$ を基底の元とする $$\mathbb{R}^2$$ 上の幾何を扱うことを主目的として 斜交平面上の幾何を扱うことを主目的として [[みゆ]] によって導出された。

複素数 $$z$$ の 正整数 整数 $$n$$ 乗を、乗は、$$rl=2z\cdotp\mathrmbar{Rez}(z)$$ と $$l=|z|^2$$ を用いて次のように表す。:と $$\displaystyle r=z^n=\left[+\sum_bar{kz}=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor}\binommathrm{n-k-1}{kRe}(-1)^kr^{n-2k-1}l^{k}\right]z-\left[\sum_{k=0}^{\lfloor (n-2)/2\rfloor}\binom{n-k-2}{k}(-1)^kr^{n-2k-2}l^{k}\right]l$$を用いて次のように表せる。

ここで得られる数列 :$$\begin{cases}S_0=0\\S_1=1\\S_{n}=-l(S_{n-2})+r(S_{n-1})\end{cases}$$  を用いるなら  :$$z^n=C_{n}+S_{n}z=-l(S_{n-1})+(S_{n})z\\$$:$$\begin{array}{l}z^1=&0+z\\z^2=&-l+rz\\z^3=&-rl+(-l+r^2)z\\z^4=&-(-l+r^2)l+(-2rl+r^3)z\\z^5=&-(-2rl+r^3)l+(-3r^2l+l^2+r^4)z\\&\quad\quad\quad\vdots\\\end{array}$$  ちなみに、数列 $$S_n$$ の一般項は次の通りであり、$$z$$ を生成元とする第１種[[ガラパゴ数列]]と同一である。  :$$\displaystyle S_{n}=\frac{\displaystyle\left(r+\sqrt{r^2-4l}\right)^n-\left(r-\sqrt{r^2-4l}\right)^n}{\displaystyle2^n\sqrt{r^2-4l}}=\displaystyle\frac{z^n-\overline{z}^{~n}}{z-\overline{z}}=\sum_{k=0}^{n-1}\overline{z}^{~k}\cdot z^{n-k-1}=\sum_{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor}\binom{n-k-1}{k}r^{n-2k-1}l^{k}$$   ===絶対値が１のケース===2z $$z=e^{i\theta}$$ である場合、$$l=z\cdotp\bar{z}=|z|^2=1,~r=z+\bar{z}=2\mathrm{Re}(z)=2\cos\theta-1$$であることから  :$$\begin{array}{l}\begin{pmatrix}C_{n}&S_{n}\\C_{n+1}&S_{n+1}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\z\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}0&1\\-z\cdotp\bar{z}&z+\bar{z}\end{pmatrix}^3n\begin{pmatrix}1\\z\end{pmatrix}\\&=(4\begin{pmatrix}0&1\\-1&2\cos\theta\end{pmatrix}^n\begin{pmatrix}1\\z\end{pmatrix}\end{array}$$  ここで得られる数列 :$$\begin{cases}S_0=0\\S_1=1\\S_{n}=-(S_{n-2})+(2\cos\theta)(S_{n-1})\end{cases}$$  を用いるなら  :$$z^n=C_{n}+S_{n}z=-(S_{n-21})+(S_{n})z\cos\theta$$:$$\begin{array}{l}z^41&=0+z&\\z^2&=-1+rz\\&=-1+(82\cos\theta)z\\z^3&=-r+(-1+r^2)z\\&=-(2\cos\theta)+[(2\cos\theta)^2-1]z\\&=-(2\cos\theta)+[2\cos2\theta+1]z\\z^4&=-(-1+r^2)+(-2r+r^3)z\\&=-[(2\cos\theta)z^2-1]+[(42\cos\theta)^3-2(2\cos\theta)]z\\&=-[2\cos2\theta+1]+[2(\cos\theta+\cos3\theta)$$]z\\:$$z^5&=-(-2r+r^3)+(-3r^2+1+r^4)z\\&=-[(162\cos\theta)^43-2(2\cos\theta-12)]+[(2\cos\theta)^4-3(2\cos\theta)^2+1)]z\\&=-[2(8\cos\theta+\cos3\theta)]+[2(\cos2\theta+\cos4\theta)+1]z\\&\quad\quad\quad\vdots\\z^3{2m}&\displaystyle=-\left[1+2\sum_{k=1}^{m-1}\cos2k\theta\right]+\left[2\sum_{k=0}^{m-41}\cos(2k+1)\theta\right]z\\z^{2m+1}&\displaystyle=-\left[2\sum_{k=0}^{m-1}\cos(2k+1)\theta\right]+\left[1+2\sum_{k=1}^{m}\cos2k\theta\right]z\\\end{array}$$  と表せる。この場合の数列 $$S_n$$ の一般項は次の通りであり、同じく $$z$$ を生成元とする第１種[[ガラパゴ数列]]と同一である。  :$$\quaddisplaystyle S_{n}=\frac{\displaystyle\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)^n-\left(\cos\theta-i\sin\theta\right)^n}{\displaystyle2i\sin\theta}\left(=\frac{\sin n\theta}{\sin\theta}\right)=\sum_{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\quadrfloor}\quadbinom{n-k-1}{k}(-1)^k(2\quadcos\vdotstheta)^{n-2k-1}$$

$$\{a,bz\in\mathbb{ZC}\}$$ において、$$\mathbb{R}^2$$ 上の複素数 $$z$$ を次のように二乗する。 \begin{align*}z^2=&z\cdot z\\=&(-\bar{z}+\bar{z}+z)z\\=&-(\bar{z}\cdotp z)+(\bar{z}+z)z\\\end{align*} ここで、$$l=\bar{z}\cdotp z,~r=(\bar{z}、+z)$$ と置くと \begin{align*}z^2=-l+rz\end{align*} 両辺に $$z$$ を乗じると $$z^3=-lz+rz^2$$ となり、右辺に $$z^2=-l+rz$$ を代入することで一次結合の形へと変形できる。この操作を再帰的に繰り返すことで、任意の整数乗を同形へと帰結させられる。※この導出手順は、分配則や結合則を満たし共役同士の和と積を求めることができる数（四元数など）であれば $$z\in\mathbb{C}$$ の範囲に限らず適用可能であることを示している。  この $$z^2=-l+rz$$ は $$+1$$ と $$z$$ を基底の元とする斜交座標形式の複素数であり、$$z^2$$ の指し示す座標は $$(-l,r)$$、それぞれの元の指し示す座標は $$(1,0)$$ と $$(0,1)$$ である。ここで $$z$$ と $$z^2$$ を基底の元とする新たな斜交座標系を想定するとそれぞれの元が指し示す座標は旧座標系で $$(0,1)$$ と $$(-l,r)$$ であるため、基底は $$\begin{pmatrix}0&-l\\1&r\end{pmatrix}$$ と表される。旧座標系の基底と比べると原点を中心に $$\mathrm{Arg}~z~(\mathrm{rad})$$ において、傾いた姿勢をとっているため、これを累乗することで任意の指数における基底の元の座標を得る。（[[ガラパゴ数学]]の乗算の項を参照）  ==幾何イメージ==複素平面上の $$0$$ を始点とし $$+1$$ を終点とする位置ベクトル $$\vec{s}$$ と、同じく $$0$$ を始点とし任意の複素数 $$z$$ を終点とする位置ベクトル $$\vec{t}$$ において、原点を中心として $$\vec{s}$$ と $$\vec{t}$$ の成す角度の整数倍だけ $$\vec{t}$$ を回転させて得られる新たな位置ベクトル $$\vec{t'}$$ は、$$\vec{s}$$ と $$\vec{t}$$ を基底の元とするベクトル空間上の１次結合の形で表現可能である。 [[ファイル:ガラパゴ累乗定理.png |480px|center|border|ガラパゴ累乗定理のイメージ]]   ==実数の累乗と数列== $$z=\left(\frac{r}2\right)+\left(\mp\sqrt{l-\left(\frac{r}2\right)^2}\right)i$$ を基底の元とする は $$z^2=-l+rz$$ の解 であり、 :$$l=\bar{z}\cdot z$$:$$r=\bar{z}+z$$ であるため、本定理より次の三項間漸化式による数列を得る。  :$$\mathbbbegin{cases}S_0=0\\S_1=1\\S_{n}=-l(S_{n-2})+r(S_{n-1})\end{cases}$$  ここで、$$l\leqq\left(\frac{r}2\right)^2$$ のとき $$z$$ は実数となるため実際の虚部は $$0$$ ということになる。  しかし、$$z=a+b=(a)+\left(-\sqrt{-b^2}\right)i$$ と虚部を任意に解釈した場合にも :$$l=\bar{z}\cdot z=a^2-b^2$$:$$r=\bar{z}+z=2a$$ であり、$$z^2=-(a^2-b^2)+2az$$ は $$z=a+b$$ において真である。  また、 $$\begin{pmatrix}C_{n}&S_{n}\\C_{n+1}&S_{n+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1\\-(a^2-b^2)&2a\end{pmatrix}^n$$ あるいは $$\begin{pmatrix}S_{n+1}\\S_{n}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2a&-(a^2-b^2)\\1&0\end{pmatrix}^n\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$$ より得られる数列  :$$\begin{cases}S_0=0\\S_1=1\\S_{Rn}=-(a^2-b^2)(S_{n-2})+2a(S_{n-1})\end{cases}$$ 上の複素数   を用いても、一般項 $$S_{n}=\frac{\displaystyle(a+b)^n-(a-b)^n}{\displaystyle2b}$$ より  :$$\begin{array}{rl}z^n=&C_{n}+S_{n}z\\=&-(a^2-b^2)(S_{n-1})+(a+b)(S_{n})\\=&\displaystyle\frac{(a+b)[(a+b)^n-(a-b)^n]-(a^2-b^2)[(a+b)^{n-1}-(a-b)^{n-1}]}{2b}\\=&\displaystyle\frac{(a+b)[(a+b)^n-(a-b)^n]-(a+b)[(a-b)(a+b)^{n-1}-(a-b)^n]}{2b}\\=&\displaystyle\frac{(a+b)[(a+b)^n]-(a+b)[(a-b)(a+b)^{n-1}]}{2b}\\=&\displaystyle\frac{(a+b)[(a+b)^n-(a-b)(a+b)^{n-1}]}{2b}\\=&\displaystyle\frac{(a+b)^n[(a+bib)-(a-b)]}{2b}\\=&(a+b)^n\end{array}$$ を次のように二乗する。  と真であることを確認できる。  このことは、複素共役の捉え方を拡張することで実数の累乗にも本定理を応用可能であることを示している。   ===黄金数とフィボナッチ数列===  黄金数を $$\displaystyle z=\phi=\frac{1+\sqrt5}2=\frac12-\frac{\sqrt{-5}}{2}i$$ とみなして解釈するならば

ここで、:$$rl=2\mathrmleft(\frac12+\frac{\sqrt{Re-5}}2i\right)\left(z\frac12-\frac{\sqrt{-5}}2i\right)=\left(\frac14+\frac{-5}4\right)=-1$$、:$$lr=\left(\frac12+\frac{\sqrt{-5}}2i\right)+\left(\frac12-\frac{\sqrt{-5}}2i\right)=|z|^21$$ と置くと

上記は $$z\cdotbegin{pmatrix}C_{n}&S_{n}\bar\C_{zn+1}&S_{n+1}\end{pmatrix}=|z|\begin{pmatrix}0&1\\1&1\end{pmatrix}^2n$$（あるいは $$\barbegin{pmatrix}S_{n+1}\\S_{n}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}^n\begin{zpmatrix}$$ は $$z$$ の共役）、すなわち「共役同士の積は偏角が相殺されるため結果的に絶対値同士の積に一致する」という性質を利用したものであり、$$1\\0\barend{zpmatrix}$$ を用いて導出を書き改めるならより得られる

==幾何への応用==複素平面上において、$$0$$ を始点とし $$+1$$ を終点とするベクトル 数列 $$\vecbegin{scases}$$ と、同じく $$S_0=0$$ を始点とし実数ではない任意の複素数 $$z$$ を終点とするベクトル $$\vec{t}$$ は線形独立である。$$\vec{t}$$ を、原点を中心として $$S_1=1\vec{s}$$ と $$\vecS_{tn}$$ の成す角度の整数倍回転させて得られるベクトル $$\vec=(S_{un-2}$$ は、ガラパゴ累乗定理によって $$\vec)+(S_{sn-1}$$ と $$)\vecend{tcases}$$ を基底の元とするベクトル空間上に表現可能である。または

ユークリッド平面上の三角形 $$\triangle OAB$$ において、長さが $$x$$ の辺 $$OA$$ と 長さが $$y$$ の辺 $$AB$$ の成す内角が $$\angle A=\theta~\mathrm{rad}$$ である場合、辺 $$OB$$ を $$O$$ を中心として $$\angle O$$ の偶数倍回転させ、それに伴って各辺の長さを伸縮（負数倍も可）して得られる新たな三角形の三辺比は $$x$$、$$y$$、$$cr=2\cos\theta$$ の整式で表せるという定理である。これはガラパゴ累乗定理を用いることで容易に導出できるが、詳しくはの整式で表せるという定理である。本定理を用いることで容易に導出できるが、詳しくは[[ガラパゴ三辺比定理]]を参照のこと。 

実数 $$+1$$ と複素数 と $$z=\mathbb{P}^\frac{m}{n}\left(=e^{i\frac{m}{n}\cdot2\pi itheta}\right)$$ を基底の元とする を理論上の基底の元（$$\mathbb{R}^2z$$ 上の半径 が実数であっても独立した元であるものとみなして区別）とする斜交座標系において、極座標 $$e^{\mathrm{Re}\left(\mathbb{P}^\frac{m}{n}\right)xxz}$$ の円において、円周上の偏角 の示す座標を基底の元の線形結合で表現したときの各元の係数を得る関数として次のような等式を想定する。  :$$\mathrm{Im}\left(\mathbb{P}e^\frac{m}{nxz}=\right)x~cos_zx+z\mathrm{rad}sin_zx$$ の座標を次のように示すことができる関数である。

これらの関数を具体的な数式は左辺のマクローリン展開形よりガラパゴ累乗定理を用いて表現可能だが、詳しくはこれらの関数 $$\cos_zx$$ と $$\sin_zx$$ は、本定理と非常に密接な関係にある。詳しくは[[ガラパゴ三角関数]]を参照のこと。