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pを素数とし、2pが素微分友愛数であるとする\( p, q \)を素数とし、\( p < q \)とする
(2p)'=p+2であるこのとき
pを6で割った余りで場合分けするなので
===\( p=6a< 1 +1のとき===\log_2{q} \)
p+2=6a+3=3(2a+1)なのでこれは3の倍数になるすなわち
<nowiki>2a+1=bとおくと2p=\(2p)''=(2a+1)+3b'となる</nowikiq > これが偶数ということはb'は奇数 b'=2c+1とすると a+3c+2=pである p=6a+1と仮定したのでa%3=2 a=3d+2とする(このときp=18d+13である) 3d+3c+4=pである このとき明らかにc+dは奇数 ===p=6a-1のとき=== p+2=6a+1は奇数 ==予想: 素数の5倍が素微分友愛数となることはない== pを素数とし、5pが素微分友愛数であるとする (5p)'=p+5である p+5が約数がすごく多くて微分すると5pに戻ってくる かなりえぐい pを5で割った余りで場合分けする ===^{p=6a+1のとき=== p+5=6a+6=2・3(a+1) (p+2)'=3(a+1)+2(a+1)+6(a+1)'=5(a+1)+6(a+1)'=5a+5+6(a+1)' すなわち6(a+1)'=a+1である a+1は6の倍数なのでa=6b-1とする このとき(a+1)'=(6b)'=5b+6b'であるから 6(a+1} \)'=30b+36b'>6b=a よって矛盾が生じた ===p=6a-1のとき=== p%4=1なのでp=12b+5と書ける p+5=2(6b+5)は偶数 <nowiki>6b+5=cとおくと(5p)''=(6b+5)+2c'となる</nowiki>
編集の要約なし
\( p_n \)で\( n \)番目の素数を表す。また、\( \log \)は全て自然対数である。
==予想主張: 素数の2倍が素微分友愛数となることはない素微分友愛数が2個の素数の積で表されるとする。このとき、その2つは「離れて」いる==
\( (pq)'' = (p+2が約数がすごく多くて微分すると2pに戻ってくるq)' < \frac{\log_2{(p+q)}}{2}(p+q) < \frac{\log_2{2q}}{2} \cdot 2q = q(1 + \log_2{q}) \)
である
==定理: 素数階乗は素微分友愛数にならない==
また定理6と同じ論法により素数の逆数の総和は0.96と1.04の間にあることが分かる(後で詳しく書く)
===ケース1. 偶数の方が30の倍数のとき偶数の方が3と5を因子に持つとき===
奇数の方の素因数は全て7以上である
偶数の方を\( 30p \)とすると\( p > 2^{49} \)である
このとき\( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{2^{49}} < 1.034 \)であるが \(30p\sum_{k=1}^{55} \frac{1}{p_{k+3}} < 0.966 \)' なので \( 1.034 \times 0.966 = 31p (1+ 30 0.034)(1-0.034) < 1 \)であるより条件を満たさない
====ケース1-c. 偶数の方が5個の素因数を持つとき====
偶数の方を\( 30pq (p,q \in \mathbb{P}, p < q)\)とする
\( pq > \frac{2^{54}}{30} > 2^{49} \)であるから\( p > 2^{24.5} \)である このとき\( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{2^{24.5}} < 1.034 \)なので やはり条件を満たさない ===ケース2. 偶数の方が3を因子に持ち5を因子に持たないとき=== ===ケース3. 偶数の方が5を因子に持ち3を因子に持たないとき=== ===ケース4. 偶数の方が3と5を因子に持たないとき===
