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pを素数とし、2pが素微分友愛数であるとする\( p, q \)を素数とし、\( p < q \)とする。\( pq \)が素微分友愛数であるとする
(2p)'=p+2である==主張: 2個の素数は「離れて」いる===
pを6で割った余りで場合分けするなので
===\( p=6a< 1 +1のとき===\log_2{q} \)
p+2=6a+3=3(2a+1)なのでこれは3の倍数になるすなわち
<nowiki\( q >2a+1=bとおくと2p=(2p)''=(2a+2^{p-1} \)+3b'となる</nowiki>
これが偶数ということはb'は奇数である
b'=2c+1とすると==予想: 2つの素数がどちらも2でも3でもないとする。このとき、両方を6で割った余りは等しい===
a+3c\( p = 6n +21, q =pである6m - 1 \)とすると
a=3d+2とするそのため\(このときp=18dn +13であるm \)は2の倍数でも3の倍数でもない
3d+3c+4=pである このとき明らかにc+dは奇数 ===p=6a-1のとき=== p+2=6a+1は奇数 ==予想: 素数の5倍が素微分友愛数となることはない== pを素数とし、5pが素微分友愛数であるとする (5p)'=p+5である p+5が約数がすごく多くて微分すると5pに戻ってくる かなりえぐい pを5で割った余りで場合分けする ===p=6a+1のとき=== p+5=6a+6=2・3(a+1) (p+2)'=3(a+1)+2(a+1)+6(a+1)'=5(a+1)+6(a+1)'=5a+5+6(a+1)' すなわち6(a+1)'=a+1である a+1は6の倍数なのでa=6b-1とする このとき(a+1)'=(6b)'=5b+6b'であるから 6(a+1)'=30b+36b'>6b=a よって矛盾が生じた ===p=6a-1のとき=== p%4=1なのでp=12b+5と書ける p+5=2(6b+5)は偶数 <nowiki>6b+5=cとおくと(5p)''=(6b+5)+2c'となる</nowiki>WIP
直前の定理を同じように証明する。===補題===
無平方数\( n x > 1, y \)の最大の素因数を\( p_m geq 1 \)とし、のとき\( n \)の素因数の個数を\log( k \x+y)とするとき、< \log( n \x)の「飛び」を+ \( m - k frac{y}{x} \)と定義する。
直感的には、最大の素因数までで「飛ばされた」素因数の個数である。\( y \)の関数\( \log(x+y) \)は上に凸なので\( \log(x+y) < \log{x} + \frac{y}{x} \)が従う
たとえば、素数階乗の飛びは0であり、2×5×13の飛びは3である。====補題2==== \( x > 1, y \geq 1 \)のとき $$ \log(\log(x+y)) < \log(\log(x) + \frac{y}{x}) < \log(\log(x)) + \frac{y}{x\log{x}} $$ ====補題3==== \( n \geq 3 \)とする \( \begin{align*}& \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{p_k} \\=& \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \sum_{k=3}^{n} \frac{1}{p_k} \\<& \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \sum_{k=3}^{n} \frac{1}{k\log{k}} \\<& \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \sum_{k=3}^{n} \int_{k-1}^k \frac{1}{x\log{x}} dx \\=& \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \sum_{k=3}^{n} (\log{\log{k}} - \log{\log{(k-1)}}) \\=& \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \log{\log{n}} - \log{\log{2}} \\<& \log{\log{n}} + 1.2\end{align*} \)
飛びを\( n \geq 2a, n \geq 3 \)としてよい \( p_n\# < (2n \log{n})^n, N < (2an \log{an})^{an} \)であるから \( \begin{align*}& N' \\<& \frac{1}{2} \cdot (2an \log{an})^{an} \cdot (an) \\=& \frac{1}{2} \cdot 2^{an} \cdot (an)^{an} \cdot (\log{a }+\log{n})とし、これを固定する。また、^{an} \cdot an \\<& n^{(an-1)\log_n{2} + an(1+\log_n{a}) + an(\log_n(\log{a}+\log{n})) + (1 + \log_n{a})} \\<& n^{-\log_n{2} + an(\log_n{2} + 1 + \log_n{a} + \log_n(2\log{n})) + 2} \\=& n^{-\log_n{2} + an(\log_n{2a} + 1 + \log_n(2\log{n})) + 2} \\<& n^{-1 + 3an + 2} \\=& n^{3an+1} \\\end{align*} \) であるから\( N ' \)を飛びがの素因数の個数は\( 3an+1 \)個以下である。また、\( N' \)の素因数は全て\( p_{n+1} \)以上であるから、\( N' \)の素因数の逆数の総和を\( T \)とすると、 $$ T < \frac{3an+1}{n\log{n}} = \frac{3a + \frac{1}{n}}{\log{n}} $$ である。また、\( N \)の素因数の逆数の総和を\( S \)とすると、 \( \begin{align*}& S \\<& \sum_{k=1}^{an} \frac{1}{p_k} \\<& \log{\log{an}} + 1.2\end{align*} \) よって \( S \cdot T < \frac{3a + \frac{1}{n}}{\log{n}}(\log{\log{an}} + 1.2) \) であり、これは\( \displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \)で\( 0 \)に収束する。 よって、十分大きい\( n \)に対して\( S \cdot T < 1 \)となるから、題意が示された。 ===数値計算=== たとえば\( a = 2 \)のとき\( S \cdot T < 1 \)となる\( n \)は・・・ 6000億だそうです。わんわんわんだほーーーい！！！ 補遺: どうやらこの\( n \)は\( a \)に対して指数より速く増加するらしい。もうまぢ無理。。。 ===\( an \)を\( n+a \)であるような無平方数とするに変えて再計算する=== \( n > 10a, n + a < n^{1.1}, n \geq 11 \)とする
任意の正の数\( \varepsilon \)に対し、このとき\( n > m \)ならば\( 2(n+a)\log{(n+a)} < n^{1+\varepsilon} \)となるような\( m .1n \)が存在するのでである
このような最小の自然数\( m \begin{align*}& N' \\<& \frac{1}{2} \cdot (2(n+a) \log{(n+a)})^{(n+a)} \cdot (n+a) \\=& \frac{1}{2} \cdot 2^{(n+a)} \cdot (n+a)を^{n+a} \cdot (\log{( L_1 n+a)})^{n+a} \cdot (n+a) \\<& 1 \cdot n^{(n+a)\log_n{2}} \cdot n^{1.1(n+a)} \cdot {1.1}^{n+a} \cdot n^{1.1} \\<& n^{0.3(n+a)} \cdot n^{1.1(n+a)} \cdot n^{\log_n{1.1} \cdot (n+a)} \cdot n^{1.1} \\<& n^{0.3(n+a)} \cdot n^{1.1(n+a)} \cdot n^{0.1(n+a)} \cdot n^{1.1} \\=& n^{1.5n+1.5a+1.1} \\\leq& n^{1.6n+1.1a} \\\leq& n^{1.8n}\end{align*} \)と書くことにする
以下、\( n > L_1 \)とする==定理: 1組の素微分友愛数の素因数の個数の合計がちょうど59個になることはない==
このとき、\( N \)の最大の素因数はsum_{k=\{x \mid 1 \leq x \leq 59, x \neq a\}} \( p_frac{1}{np_a} +a\frac{1}{60} \)であるから
$$ N' < これは\frac{1}{2} \cdot (2(n+a\) に関して単調増加し、\log{(n+a)})^n \cdot n < leq 39 \frac{1}{2} n^{n(1+)では\varepsilon)+1} < n^{n(1+2 \varepsilon)+1} $$より小さい
であるから、よって\( N' p_{39} = 167 \)は素因数を最大でも\( n(1+\varepsilon)+1 \)個しか持たない以下の素数は必ず一方に現れる
よって\( N' p_1 = 2 \)の素因数の逆数の総和をを持つ方を偶数の方、持たない方を奇数の方と呼ぶことにする この定義はwell-definedである また定理6と同じ論法により素数の逆数の総和は0.96と1.04の間にあることが分かる(後で詳しく書く) ===ケース1. 偶数の方が3と5を因子に持つとき=== 奇数の方の素因数は全て7以上である \( \frac{1}{7} \)以降の素数の逆数の総和で0.96を超えるためには少なくとも\( \frac{1}{p_{57}} \)まで足す必要がある すなわち奇数の方には素因数が少なくとも54個存在する よって偶数の方には素因数は最大5個しかない また\( T \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{149} > 1.04 \)であるから7と149の間の素数(32個)とするとは全て奇数の方に入る ====ケース1-a. 偶数の方が3個の素因数を持つとき==== その3個は2,3,5であるが2×3×5=30は素微分友愛数ではない
\( 0 < T < \frac{n(1+\varepsilon)+1}{n\log{n}} < \frac{1+\varepsilon+\frac{1}{L_1}}{\log{n}} \)====ケース1-b. 偶数の方が4個の素因数を持つとき====
が成り立つ奇数の方は55個の素因数を持つため\( 2^{55} \)より大きい
またよって偶数の方は\( N 2^{55} \)の素因数の逆数の総和をtimes 0.96 > 2^{54} > 2^{49} \( S times 30 \)とするとより大きい
$$ 0 < S < 偶数の方を\sum_{k=1}^{L_1}( 30p \frac{1}{p_k} - )とすると\log{\log( p > 2^{L_1}49} + \log{\log{(n+a)}} \\ $$である
が成り立つこのとき\( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{2^{49}} < 1.034 \)であるが
$$ f(x) = \left( \frac{1+\varepsilon+\frac{1}{L_1}}{\log{x}} \right) \left( \sum_{k=1}^{L_155}\frac{1}{p_k} - \logp_{\log{L_1}} + \log{\log{(nk+x)3}} < 0.966 \right) $$なので
とし、\( 1.034 \times 0.966 = (1+0.034)(1-0.034) < 1 \)より条件を満たさない
$$ A = 1+\varepsilon+\frac{1}{L_1}, B = \sum_{k=1}^{L_1}\frac{1}{p_k} =ケース1- \log{\log{L_1}} $$c. 偶数の方が5個の素因数を持つとき====
とすると奇数の方は54個の素因数を持つため\( 2^{54} \)より大きい
$$ 偶数の方を\frac{d}{dx}f(x) = - \frac{A30pq (B-1+p,q \log{in \logmathbb{x}P}, p < q)}{x(\log{x})^2} $$とする
であるから、\( L_2 = pq > \mathrmfrac{ceil2^{54}}(e{30} > 2^{e49} \)であるから\( p > 2^{1-B24.5}}) \)とするとである
また、\( \lim_{n \rightarrow \infty} f(n) = 0 \)なので、ある\( L_3 \)が存在して\( x \geq L_3 \Rightarrow f(x) < 1 \)が成り立つ。やはり条件を満たさない
よって、\( n > \max(L_2,L_3) \)のとき、\( N \)は素微分友愛数ではない。===ケース2. 偶数の方が3を因子に持ち5を因子に持たないとき===
\( a \)を固定し、\( \varepsilon \)を増やすと、\( L_1 \)と\( L_2 \)は増加し、\( L_3 \)は減少する。===ケース4. 偶数の方が3と5を因子に持たないとき===
\( p_n \)で\( n \)番目の素数を表す。また、\( \log \)は全て自然対数である。
==予想: 素数の2倍が素微分友愛数となることはない2個の素数の積で表される素微分友愛数について==
\( (pq)'' = (p+2が約数がすごく多くて微分すると2pに戻ってくるq)' < \frac{\log_2{(p+q)}}{2}(p+q) < \frac{\log_2{2q}}{2} \cdot 2q = q(1 + \log_2{q}) \)
\( (pq)'' = (p+q)' =6a(6(n+1と仮定したのでa%3m))' =25(n+m)+6(n+m)' \)
==定理: 素数階乗は素微分友愛数にならない==
以上より示された。
==定理: 「飛び」ごとに素微分友愛数は高々有限個しか存在しない\( a > 1 \)を定数とする。\( N = p_n\# \cdot M \)、ただし\( M \)の最大素因数は\( p_{an} \)以下、と表されるような\( N \)のうち、素微分友愛数は\( a \)ごとに有限個しかない==
===定義=補題1====
===証明===
\( L_1 n \)はが\( \varepsilon \)と\( a {10}^3 \)に依存することに注意せよオーダーまで下がってくる
最初の59個の素数のうち、どちらにも含まれない素因数が存在するとし、それを\( N p_a \)に含まれる素因数が\( n \)個であるとするとすると、両方の素因数の逆数の総和は次の和以下である:
このとき\( x \geq L_2 frac{1}{2} + \)であればfrac{1}{3} + \frac{1}{5} + \( f(x) frac{1}{2^{24.5}} < 1.034 \)は単調減少であるなので
===数値計算のためにケース3. 偶数の方が5を因子に持ち3を因子に持たないとき===
