Wikiいけめん
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も順序数である。もちろん、\( \mathrm{succ}(O_{\omega2}) = O_{\omega2+1} \)も順序数だし、\( \mathrm{succ}(O_{\omega2+1}) = O_{\omega2+2} \)も順序数である。順序数は、いくら具体例をリストアップしても文字通りの意味で切りがない。
===第8節 超限帰納法===順序数全体の集まり(これは厳密には集合ではない)を\( \mathrm{Ord} \)とすると、\( \mathrm{Ord} \)は次のような性質を持つ。逆に、次のような性質を持つ順序数の集まりは\( \mathrm{Ord} \)のみである: # \( O_0 = \emptyset \in \mathrm{Ord} \)である。# \( \alpha \in \mathrm{Ord} \)ならば、\( \mathrm{succ}(\alpha) \in \mathrm{Ord} \)である。# \( \alpha \)は\( \alpha = \mathrm{succ}(\beta) \)の形で書けない順序数で、\( \alpha \)未満の\( \beta \)が全て\( \mathrm{Ord} \)の要素であるとき、\( \alpha \)も\( \mathrm{Ord} \)の要素である。 この性質を逆に利用し、順序数を次のように3つのグループに分けて考えることが多い。 # \( O_0 = \emptyset \)# \( \alpha = \mathrm{succ}(\beta) \)となるときの\( \alpha \)# それ以外 2つ目のグループに入る順序数を後続順序数といい、そうでない順序数を極限順序数という。たとえば、\( O_1, O_2, O_{\omega+1} \)などは後続順序数であり、\( O_0, O_{\omega}, O_{\omega2} \)などは極限順序数である。 ===第9節 順序数の算術===
巨大基数を定義するうえでは直接必要とならないが、順序数に対する直感を深めるために、ここでは順序数の大小比較、足し算、掛け算を定義し、その性質の自然数のそれらとの類似点・相違点を確認する。
自然数との相違点: \( O_{\omega} \)より小さい順序数は\( O_0, O_1, O_2, \cdots \)と無限に存在する。しかし、「それより小さい自然数が無限に存在する自然数」は存在しない。
====2. 順序数の加法====
==第1½章 カントールの対角線論法==
