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加えて、線型斉次でない線型常微分方程式を線型非斉次常微分方程式と呼ぶ。線型非斉次はその微分方程式のある一つの解を用いることで線型斉次に帰着される。また、線型斉次でない線型常微分方程式を線型非斉次常微分方程式と呼ぶ。線型非斉次はその微分方程式のある一つの解を用いることで線型斉次に帰着される。$$f$$についての線型非斉次常微分方程式は$$g_n(x)=1$$と$$k=0,1,2,\cdots,n-1$$に対応する関数$$g_k$$, 恒等的に$$0$$ではない関数$$h$$を用いて一般に\[\left(\sum_{k=0}^ng_k(x)\frac{d^nk}{dx^nk}\right)f(x)=h(x)\]
となるので実際この方法はうまく行き元の微分方程式を解くことができる。ここで注意しなければならないことはgが定まらないように見えるときがあることである。実際に次の微分方程式となるので実際この方法はうまく行き元の微分方程式を解くことができる。また、この$$u$$は両辺にかけて用いるため定数倍の差は本質的にはないことになる。つまり両辺にかけるべき関数を改めて$$U(x)=u(x)/A$$などとすれば良い。ただし$$A=0$$の時は両辺に$$0$$をかける無意味な変形を表しているので考えない。また、注意しなければならないこととして$$u$$が微分可能な関数として定まらないように見えるときがある。実際に次の微分方程式
について考えよう。先の方法をそのまま用いるとについて考えよう。分母が$$0$$となることはないので$$x\neq0$$である。先の方法をそのまま用いると\[u(x)=A\exp\left(\int\frac1x\,\mathrm dx\right)=Aee^{\log|x|}=A|x|\]となるのでとなるように見えるので$$u(x)$$が微分不可能であったりが微分不可能であるかのように思われる。しかし、実際は複素関数論などの立場から見ると$$x\ne0$$によって場合分けをしたりする必要があるように見える。しかし、実際は両辺にかけるので符号の差異は両辺にうまく$$-1$$をかけることで解消され両辺にの時\[\exp\left(\int\frac1x\,\mathrm dx\right)=x\]が成立するので$$u(x)=x$$をかけた場合と全く同じであることが分かる。つまり、考えるべき微分方程式はとすれば良いのである。従って考えるべき微分方程式は
\[v''(x)+g_1(x)v'(x)+g_2(x)v(x)=0\]
が成立する。上の式の$$k$$倍と下の式の$$l$$倍を加えて整理すると
\[(ku(x)+lv(x))''+g_1(x)(ku(x)+lv(x))'+g_2(x)(ku(x)+lv(x))=0\]
が分かるが、これは解同士の線型結合$$ku(x)+lv(x)$$もまた元の微分方程式の解であることを示している。
と書ける。ここでこの方程式の解の一つとして$$u$$を見つければそれは
\[\left(\sum_{k=0}^ng_k(x)\frac{d^nk}{dx^nk}\right)u(x)=h(x)\]
を満たしている。この式を元の式から引くと
\[\left(\sum_{k=0}^ng_k(x)\frac{d^nk}{dx^nk}\right)(f(x)-u(x))=0\]
であるので$$f_1(x)=f(x)-u(x)$$と置くとこれは線型斉次常微分方程式
\[\left(\sum_{k=0}^ng_k(x)\frac{d^nk}{dx^nk}\right)f_1(x)=0\]を解くことによって求められる。そして$$f(x)=f_1(x)+u(x)$$であるので元の線型非斉次常微分方程式を解くことができたことになる。であるので元の線型非斉次常微分方程式を解くことができる。
==偏微分方程式==
という状態で左辺は$$y$$のみの式、右辺は$$x$$のみの式であるのでそのように呼ばれる。
====積分因子法====
この方法は積の微分則$$\{f(x)g(x)\}'=f'(x)g(x)+f(x)g'(g)$$を巧みに使った手法である。を巧みに使った手法である。微分可能な関数$$u$$について$$\{f(x)u(x)\}'=f'(x)u(x)+f(x)u'(x)$$であるので元の微分方程式の両辺に$$u(x)$$を書けたをかけた
\[f'(x)u(x)+f(x)g(x)u(x)=h(x)u(x)\]
と見比べて$$g(x)u(x)=u'(x)$$であると嬉しい。なぜならこの関係が成り立つとき
が成り立つので両辺を積分した後に$$u(x)$$で割れば
\[f(x)=\frac1{u(x)}\left(\int h(x)u(x)\,\mathrm dx+\mathrm C\right)\]
として$$f$$が求まるからである。$$u'(x)=g(x)u(x)$$を変数分離法を用いて解くと$$A$$を任意の定数として
\[u(x)=A\exp\left(\int g(x)\,\mathrm dx\right)\]
\[y'+\frac yx=2\]
\[|x|y'+\frac{|x|}xy=2|x|\]
ではなく
y&=&x+\frac{\mathrm C}x
\end{eqnarray*}\]
として解くことができる。
===二階線型定数係数非斉次常微分方程式===
関数$$f$$についての二階線型定数係数非斉次常微分方程式は定数$$a$$及び$$b$$と恒等的に$$0$$でない関数$$g$$を用いて
\[f''(x)+af'(x)+bf(x)=g(x)\]
と表せる。線型非斉次であるので同様に解の一つ$$u$$を用いて$$y(x)=f(x)-u(x)$$と置くと二階線型斉次常微分方程式
\[y''+ay'+by=0\]
に帰着される。ここで次のようにして二つの定数$$\alpha$$, $$\beta$$を定める。
\[\begin{cases}\alpha+\beta&=-a\\\alpha\beta&=b\end{cases}\]
この$$\alpha$$, $$\beta$$は解と係数の関係を考えることにより$$t$$についての二次方程式$$t^2+at+b=0$$の解であることが分かる。さて、この$$\alpha$$及び$$\beta$$を元の微分方程式に代入し整理すると
\[y''-\beta y'=\alpha(y'-\beta y)\]
となるがここで$$u(x)=y'-\beta y$$と置くとこの微分方程式は
\[u'=\alpha u\]
となるので簡単に解けて$$A_1$$を任意の定数として$$u(x)=A_1e^{\alpha x}$$となる。次に$$u(x)=y'-\beta y$$であるので
\[y'-\beta y=A_1e^{\alpha x}\]
を解けばよい。積分因子法を用いると両辺に$$e^{-\beta x}$$をかければよいことが分かるので
\[\begin{eqnarray*}
y'-\beta y&=&A_1e^{\alpha x}\\
y'e^{-\beta x}-\beta ye^{-\beta x}&=&A_1e^{(\alpha-\beta)x}\\
(ye^{-\beta x})'&=&A_1e^{(\alpha-\beta)x}
\end{eqnarray*}\]
と計算できる。しかし、ここで注意すべきことがある。それは$$\alpha=\beta$$となるような時とそうでない時で右辺の積分が全く異なることである。$$\alpha\neq\beta$$の時、両辺を積分して$$y$$について解くと$$B$$を任意の定数, $$A=A_1/(\alpha-\beta)$$として
\[y(x)=Ae^{\alpha x}+Be^{\beta x}\]
となる。$$\alpha=\beta$$の時$$e^{(\alpha-\beta)x}=1$$であるので両辺を積分して$$y$$について解くと$$B$$を任意の定数, $$A=A_1$$として
\[y=(Ax+B)e^{\alpha x}=(Ax+B)e^{\beta x}\]
として解くことができる。
