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と表せる。このとき、を通ることがわかる。このとき、$$x+yz$$ で表現される三角形の三辺比は余弦定理より
であるため、であり、$$(x+yz)^2=(x^2-y^2)+2(x+y\cos\theta)yz$$ で表現される三角形の三辺比は
と表すことができる。といえる。
編集の要約なし
$$+1$$ と $$z=e^{i\theta}$$ を元とする基底空間において、内角の一つに $$\psi=(\pi-\theta)~\mathrm{rad}$$ をもつ三角形を想定する。
$$\psi~\mathrm{rad}$$ である内角の対辺を $$x+yz$$ で表現すると、みゆの累乗恒等式を用いてで表現すると、対辺の原点側の内角を２倍して得られる直線はみゆの累乗恒等式を用いて
:$$(x+yz)^2=x^2+y^2z^2+2xyz=x^2+y^2(2z\cos\theta-1)+2xyz=(x^2-y^2)+2(x+y\cos\theta)yz$$
:$$x$$ ： $$y$$ ： $$\sqrt{x^2+y^2-2xy\cos\psi}$$
:$$x^2-y^2$$ : $$2(x+y\cos\theta)y$$ ： $$x^2+y^2-2xy\cos\psi$$
すなわち
:$$x^2-y^2$$ : $$2(x-y\cos\psi)y$$ ： $$x^2+y^2-2xy\cos\psi$$
この定理は、$$\cos\psi$$ が有理数値をとるような内角を持つ三角形の三辺比を代数式によって整数比で表すことができることを示している。
