差分

&\textstyle\cos\left(x,e^{i\theta}\right)+z\sin\left(x,e^{i\theta}\right)\\=&\textstyle\cos\left(x,e^{i\theta}\right)+(\cos\theta+i\sin\theta)\sin\left(x,e^{i\theta}\right)\\=&\textstyle\left[\cos\left(x,e^{i\theta}\right)+\cos\theta\sin\left(x,e^{i\theta}\right)\right]+i\sin\theta\sin\left(x,e^{i\theta}\right)

両辺の実部と虚部を比較し、両辺の実部と虚部をそれぞれ比較:$$e^{x\cos\theta}\cos(x\sin\theta)=\cos\left(x,e^{i\theta}\right)+\cos\theta\sin\left(x,e^{i\theta}\right)$$:$$e^{x\cos\theta}\sin(x\sin\theta)=\sin\theta\sin\left(x,e^{i\theta}\right)$$  $$\theta$$ が $$\pi$$ の整数倍の場合、 $$1$$ と $$e^{i\theta}$$ は線形従属となってしまうため、$$\theta$$ を $$t$$ とおいて $$t\to\theta$$ の極限をとる