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[[ガラパゴ累乗定理]]により $$z^n$$ は $$+1$$ 成分 と $$+z$$ 成分に分離できるため:$$\displaystyle\cos_zx=1-\sum_{n=2}^\infty\frac{x^n}{n!}\left[\sum_{k=0}^{\lfloor (n-2)/2\rfloor}\binom{n-k-2}{k}(-1)^k\left(2\cos\theta\right)^{n-2k-2}\right]$$:$$\displaystyle\sin_zx=x+\sum_{n=2}^\infty\frac{x^n}{n!}\left[\sum_{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor}\binom{n-k-1}{k}(-1)^k\left(2\cos\theta\right)^{n-2k-1}\right]$$と表せるため、
あるいは数列を用いて
\begin{cases}
S_0=0\\
S_1=1\\
S_{k}=-(S_{k-2})+(2\cos\theta)(S_{k-1})
\end{cases}
編集の要約なし
'''ガラパゴ三角関数'''（ガラパゴさんかくかんすう）とは、$$+1$$ と $$z=e^{i\theta}$$ を理論上の基底の元（$$z$$ が実数であっても独立した元であるものとみなして区別）とする斜交座標系において、極座標 $$e^{xz}$$ が示す座標の実部と $$z$$ 部を得る関数である。一般的な三角関数の純粋な拡張として を基底の元の線形結合で表現したときの各係数（スカラー値）を得る関数である。一般的な三角関数の純粋な拡張として [[みゆ]] により考案された。
\end{align*}$$
ちなみにこの数列 $$S_n$$ は $$z$$ を生成元とする[[ガラパゴ数列]]と同一である。
$$\exp$$関数のマクローリン展開より
:$$\begin{align*}displaystyle e^{xz}=&\exp(xz)\\=&\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(xz)^n}{n!}\\=&\fracsum_{(xz)^n=0}^{0!\infty}+\frac{(xzz)^1n}{1n!}+z^n$$ [[ガラパゴ累乗定理]]より、$$z$$ を生成元とする[[ガラパゴ数列]] $$\sum_{ndisplaystyle G_n=2}^\infty\frac{(xz)z^n-\overline{z}^{-n!}}{z-\\overline{z}}=&1+xz+\sum_{nk=20}^\infty\frac{xz^n}{n!-2k-1}$$ を用いて :$$z^n\\\end= G_nz-G_{align*n-1}$$
:$$\begin{align*}
\cos_zx=&-\sum_{k=0}^\infty\frac{S_G_{k-1}x^k}{k!}\\\sin_zx=&+\sum_{k=0}^\infty\frac{S_G_{k}x^k}{k!}\\
\end{align*}
$$
