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:$$\begin{align*}
e^{xz}=&\cos_zx+z\sin_zx\\
=&\left(\sum_{k=0}^\infty\frac{C_{k}x^k}{k!}\right)+z\left(\sum_{k=0}^\infty\frac{S_{k}x^k}{k!}\right)\\
=&\left(-\sum_{k=0}^\infty\frac{S_{k-1}x^k}{k!}\right)+z\left(\sum_{k=0}^\infty\frac{S_{k}x^k}{k!}\right)\\
\end{align*}$$
