差分

$$1$$ の原始 $$2$$ 乗根 $$z=e^{\frac{1}{2}\cdotp2\pi i}{2}}$$ のとき（$$2\cos\theta=-2$$）

$$1$$ の原始 $$3$$ 乗根 $$z=e^{\frac{2\pi i1}{3}\cdotp2\pi i}$$ のとき（$$2\cos\theta=-1$$）:$$\displaystyle\cos\left(x,e^{\pm\frac{2\pi1}{3}\cdotp2\pi i}\right)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{3k}}{(3k)!}-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{3k+2}}{(3k+2)!}$$:$$\displaystyle\sin\left(x,e^{\pm\frac{2\pi1}{3}\cdotp2\pi ii}\right)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{3k+1}}{(3k+1)!}-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{3k+2}}{(3k+2)!}$$

$$1$$ の原始 $$4$$ 乗根 $$z=e^{\frac{2\pi i1}{4}\cdotp2\pi i}$$ のとき（$$2\cos\theta=0$$）:$$\displaystyle\cos\left(x,e^{\pm\frac{\pi1}{24}\cdotp2\pi i}\right)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{4k}}{(4k)!}-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{4k+2}}{(4k+2)!}=\cos x$$:$$\displaystyle\sin\left(x,e^{\pm\frac{\pi1}{24}\cdotp2\pi i}\right)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{4k+1}}{(4k+1)!}-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{4k+3}}{(4k+3)!}=\sin x$$