ガラパゴ三角関数

ガラパゴ三角関数（ガラパゴさんかくかんすう）とは、$$+1$$ と $$z=e^{i\theta}$$ を理論上の基底の元（$$z$$ が実数であっても独立した元であるものとみなして区別）とする斜交座標系において、極座標 $$e^{xz}$$ が示す座標の実部と $$z$$ 部を得る関数である。一般的な三角関数の純粋な拡張として みゆ により考案された。

$$e^{xz}=\cos(x,z)+z\sin(x,z)$$

偏角： $$\arg z=\arg e^{xe^{i\theta}}=x\sin\theta~(\mathrm{rad})$$

絶対値： $$|z|=|e^{xe^{i\theta}}|=e^{x\cos\theta}$$

$$\displaystyle\cos(x,e^{i\theta})=\lim_{t\to\theta}\left[e^{x\cos t}\cos(x\sin t)-\frac{e^{x\cos t}\sin(x\sin t)}{\tan t}\right]$$

$$\displaystyle\sin(x,e^{i\theta})=\lim_{t\to\theta}\left[\frac{e^{x\cos t}\sin(x\sin t)}{\sin t}\right]$$

標準化（$$\theta\ne N\pi$$、$$\{N\in\mathbb{Z}\}$$）

$$e^{i\alpha}=e^{-\alpha\cot\theta}\left[\cos\left(\frac{\alpha}{\sin\theta},e^{i\theta}\right)+z\sin\left(\frac{\alpha}{\sin\theta},e^{i\theta}\right)\right]$$

偏角： $$\arg e^{i\alpha}=\alpha$$

絶対値： $$|e^{i\alpha}|=1$$

導出

$$e^{xe^{i\theta}}=\cos\left(x,e^{i\theta}\right)+z\sin\left(x,e^{i\theta}\right)$$ の両辺を直交座標形式に変換

左辺

$$\begin{align*} e^{xz}=&e^{xe^{i\theta}}\\ =&e^{x(\cos\theta+i\sin\theta)}\\ =&e^{x\cos\theta}\cdot e^{ix\sin\theta}\\ =&e^{x\cos\theta}[\cos(x\sin\theta)+i\sin(x\sin\theta)]\\ =&e^{x\cos\theta}\cos(x\sin\theta)+ie^{x\cos\theta}\sin(x\sin\theta) \end{align*}$$

右辺

$$\begin{align*} &\cos\left(x,e^{i\theta}\right)+z\sin\left(x,e^{i\theta}\right)\\ =&\cos\left(x,e^{i\theta}\right)+(\cos\theta+i\sin\theta)\sin\left(x,e^{i\theta}\right)\\ =&\left[\cos\left(x,e^{i\theta}\right)+\cos\theta\sin\left(x,e^{i\theta}\right)\right]+i\sin\theta\sin\left(x,e^{i\theta}\right) \end{align*}$$

両辺の実部と虚部をそれぞれ比較

$$e^{x\cos\theta}\cos(x\sin\theta)=\cos\left(x,e^{i\theta}\right)+\cos\theta\sin\left(x,e^{i\theta}\right)$$

$$e^{x\cos\theta}\sin(x\sin\theta)=\sin\theta\sin\left(x,e^{i\theta}\right)$$

$$\theta$$ が $$\pi$$ の整数倍の場合、 $$1$$ と $$e^{i\theta}$$ は線形従属となってしまうため、$$\theta$$ を $$t$$ とおいて $$t\to\theta$$ の極限として考える

$$\begin{align*} \cos(x,e^{i\theta})&=\lim_{t\to\theta}\left[e^{x\cos t}\cos(x\sin t)-\frac{e^{x\cos t}\sin(x\sin t)}{\tan t}\right]\\ \sin(x,e^{i\theta})&=\lim_{t\to\theta}\left[\frac{e^{x\cos t}\sin(x\sin t)}{\sin t}\right]\\ \end{align*}$$

級数展開形

$$+1$$ と $$z=e^{i\theta}$$ を（理論上の）基底の元とする斜交座標形式の複素数平面において、関数 $$f(x)=e^{xz}$$ を想定する。

$$\exp$$関数のマクローリン展開より

$$\begin{align*} e^{xz}=&\exp(xz)\\ =&\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(xz)^n}{n!}\\ =&\frac{(xz)^0}{0!}+\frac{(xz)^1}{1!}+\sum_{n=2}^\infty\frac{(xz)^n}{n!}\\ =&1+z+\sum_{n=2}^\infty\frac{x^n}{n!}z^n\\ \end{align*}$$

ガラパゴ累乗定理により $$z^n$$ は $$+1$$ 成分 と $$+z$$ 成分に分離できるため

$$\displaystyle\cos(x,e^{i\theta})=1-\sum_{n=2}^\infty\frac{x^n}{n!}\left[\sum_{k=0}^{\lfloor (n-2)/2\rfloor}\binom{n-k-2}{k}(-1)^k\left(2\cos\theta\right)^{n-2k-2}\right]$$

$$\displaystyle\sin(x,e^{i\theta})=1+\sum_{n=2}^\infty\frac{x^n}{n!}\left[\sum_{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor}\binom{n-k-1}{k}(-1)^k\left(2\cos\theta\right)^{n-2k-1}\right]$$

あるいは漸化式を用いて

$$\begin{align*} \cos(x,e^{i\theta})=&-\sum_{k=0}^\infty\frac{A_{k-1}x^k}{k!}\\ \sin(x,e^{i\theta})=&+\sum_{k=0}^\infty\frac{A_{k}x^k}{k!}\\ \end{align*} \begin{cases} A_0=0\\ A_1=1\\ A_{k}=(2\cos\theta)A_{k-1}-A_{k-2} \end{cases} $$

$$z=e^{2\pi i}$$ のとき（$$2\cos\theta=2$$）

$$\displaystyle\cos\left(x,1\right)=(1-x)e^x$$

$$\displaystyle\sin\left(x,1\right)=xe^x$$

$$1$$ の原始 $$2$$ 乗根 $$z=e^{\frac{2\pi i}{2}}$$ のとき（$$2\cos\theta=-2$$）

$$\displaystyle\cos\left(x,-1\right)=(1+x)e^{-x}$$

$$\displaystyle\sin\left(x,-1\right)=xe^{-x}$$

$$1$$ の原始 $$3$$ 乗根 $$z=e^{\frac{2\pi i}{3}}$$ のとき（$$2\cos\theta=-1$$）

$$\displaystyle\cos\left(x,e^{\pm\frac{2\pi}{3}}\right)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{3k}}{(3k)!}-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{3k+2}}{(3k+2)!}$$

$$\displaystyle\sin\left(x,e^{\pm\frac{2\pi}{3}}\right)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{3k+1}}{(3k+1)!}-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{3k+2}}{(3k+2)!}$$

$$1$$ の原始 $$4$$ 乗根 $$z=e^{\frac{2\pi i}{4}}$$ のとき（$$2\cos\theta=0$$）

$$\displaystyle\cos\left(x,e^{\pm\frac{\pi}{2}}\right)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{4k}}{(4k)!}-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{4k+2}}{(4k+2)!}=\cos x$$

$$\displaystyle\sin\left(x,e^{\pm\frac{\pi}{2}}\right)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{4k+1}}{(4k+1)!}-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{4k+3}}{(4k+3)!}=\sin x$$

exps関数を用いた表現

$$\exp$$ 関数をマクローリン展開した各項より、$$x$$ の指数が [$$n$$ の倍数－$$m$$] 以外の係数を $$0$$ とした関数を $$\mathrm{exps}(x,n,m)$$ とする。

$$\begin{align*} \mathrm{exps}(x,n,m) =&\left(\sum_{k=0}^\infty\frac{x^{kn}}{(kn)!}\right)^{(m)}\quad\color{#f00}{\leftarrow~(m)~は~m~階微分の意}\\ =&\frac{1}{n}\sum_{k=0}^\infty\left[\left(e^{\frac{m}{n}\cdot2\pi i}\right)^ke^{\left(e^{\frac{2\pi i}{n}}\right)^kx}\right]\\ =&\frac{1}{n}\sum_{k=0}^\infty\left[\exp\left(\frac{2km\pi}{n}i+\exp\left(\frac{2k\pi}{n}i\right)x\right)\right] \end{align*}$$

この関数は $$n$$ 階微分したとき元の関数と一致する関数（周階原始関数）を構成する標準基底の元となりうる関数である。

ガラパゴ三角関数は第２引数 $$e^{i\theta}$$ が実数ではなく、かつ、$$\frac{\theta}{2\pi}$$ が有理数のときに周階原始関数となり、以下のように示すことが可能である。

\begin{array}{rcrcrcl} &&\textstyle\cos\left(x,e^{\frac{1}{3}\cdot2\pi i}\right)&&&=&\mathrm{exps}\left(x,3,0\right)-\mathrm{exps}\left(x,3,1\right)\\ &&\textstyle\sin\left(x,e^{\frac{2}{3}\cdot2\pi i}\right)&=&-\sin\left(x,e^{\frac{1}{3}\cdot2\pi i}\right)&=&\mathrm{exps}\left(x,3,1\right)-\mathrm{exps}\left(x,3,2\right)&\\ &&\textstyle-\cos\left(x,e^{\frac{2}{3}\cdot2\pi i}\right)&&&=&\mathrm{exps}\left(x,3,2\right)-\mathrm{exps}\left(x,3,0\right)\\ &&\textstyle\cos\left(x,e^{\frac{2}{3}\cdot2\pi i}\right)&&&=&\mathrm{exps}\left(x,3,0\right)-\mathrm{exps}\left(x,3,2\right)\\ &&\textstyle-\cos\left(x,e^{\frac{1}{3}\cdot2\pi i}\right)&&&=&\mathrm{exps}\left(x,3,1\right)-\mathrm{exps}\left(x,3,0\right)\\ &&\textstyle\sin\left(x,e^{\frac{1}{3}\cdot2\pi i}\right)&=&-\sin\left(x,e^{\frac{2}{3}\cdot2\pi i}\right)&=&\mathrm{exps}\left(x,3,2\right)-\mathrm{exps}\left(x,3,1\right)\\\\ \textstyle\cos(x)&=&\cos\left(x,e^{\frac{1}{4}\cdot2\pi i}\right)&=&\cos\left(x,e^{\frac{3}{4}\cdot2\pi i}\right)&=&\mathrm{exps}\left(x,4,0\right)-\mathrm{exps}\left(x,4,2\right)\\ \textstyle-\sin(x)&=&-\sin\left(x,e^{\frac{1}{4}\cdot2\pi i}\right)&=&\sin\left(x,e^{\frac{3}{4}\cdot2\pi i}\right)&=&\mathrm{exps}\left(x,4,1\right)-\mathrm{exps}\left(x,4,3\right)\\ \textstyle-\cos(x)&=&-\cos\left(x,e^{\frac{1}{4}\cdot2\pi i}\right)&=&-\cos\left(x,e^{\frac{3}{4}\cdot2\pi i}\right)&=&\mathrm{exps}\left(x,4,2\right)-\mathrm{exps}\left(x,4,0\right)\\ \textstyle\sin(x)&=&\sin\left(x,e^{\frac{1}{4}\cdot2\pi i}\right)&=&-\sin\left(x,e^{\frac{3}{4}\cdot2\pi i}\right)&=&\mathrm{exps}\left(x,4,3\right)-\mathrm{exps}\left(x,4,1\right)&\\\\ &&\textstyle\cos\left(x,e^{\frac{1}{6}\cdot2\pi i}\right)&=&\cos\left(x,e^{\frac{4}{6}\cdot2\pi i}\right)&=&\mathrm{exps}\left(x,6,0\right)+\mathrm{exps}\left(x,6,1\right)-\mathrm{exps}\left(x,6,3\right)-\mathrm{exps}\left(x,6,4\right)\\ &&\textstyle-\sin\left(x,e^{\frac{1}{6}\cdot2\pi i}\right)&=&\sin\left(x,e^{\frac{4}{6}\cdot2\pi i}\right)&=&\mathrm{exps}\left(x,6,1\right)+\mathrm{exps}\left(x,6,2\right)-\mathrm{exps}\left(x,6,4\right)-\mathrm{exps}\left(x,6,5\right)\\ &&\textstyle-\cos\left(x,e^{\frac{2}{6}\cdot2\pi i}\right)&=&-\cos\left(x,e^{\frac{5}{6}\cdot2\pi i}\right)&=&\mathrm{exps}\left(x,6,2\right)+\mathrm{exps}\left(x,6,3\right)-\mathrm{exps}\left(x,6,5\right)-\mathrm{exps}\left(x,6,0\right)\\ &&\textstyle-\cos\left(x,e^{\frac{1}{6}\cdot2\pi i}\right)&=&-\cos\left(x,e^{\frac{4}{6}\cdot2\pi i}\right)&=&\mathrm{exps}\left(x,6,3\right)+\mathrm{exps}\left(x,6,4\right)-\mathrm{exps}\left(x,6,0\right)-\mathrm{exps}\left(x,6,1\right)\\ &&\textstyle\sin\left(x,e^{\frac{1}{6}\cdot2\pi i}\right)&=&\sin\left(x,e^{\frac{2}{6}\cdot2\pi i}\right)&=&\mathrm{exps}\left(x,6,4\right)+\mathrm{exps}\left(x,6,5\right)-\mathrm{exps}\left(x,6,1\right)-\mathrm{exps}\left(x,6,2\right)\\ &&\textstyle\cos\left(x,e^{\frac{2}{6}\cdot2\pi i}\right)&=&\cos\left(x,e^{\frac{4}{6}\cdot2\pi i}\right)&=&\mathrm{exps}\left(x,6,5\right)+\mathrm{exps}\left(x,6,0\right)-\mathrm{exps}\left(x,6,2\right)-\mathrm{exps}\left(x,6,3\right)\\ \end{array}