「ガラパゴ三角関数」の版間の差分

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'''ガラパゴ三角関数'''（ガラパゴさんかくかんすう）とは、$$+1$$ と $$z=e^{i\theta}$$ を理論上の基底の元（$$z$$ が実数であっても独立した元であるものとみなして区別）とする斜交座標系において、関数 $$f(x)=e^{xz}$$ が示す座標の実部と $$z$$ 部を得る関数である。一般的な三角関数の純粋な拡張として [[みゆ]] により考案された。
+
'''ガラパゴ三角関数'''（ガラパゴさんかくかんすう）とは、$$+1$$ と $$z=e^{i\theta}$$ を理論上の基底の元（$$z$$ が実数であっても独立した元であるものとみなして区別）とする斜交座標系において、極座標 $$e^{xz}$$ が示す座標の実部と $$z$$ 部を得る関数である。一般的な三角関数の純粋な拡張として [[みゆ]] により考案された。
  
  
−
実部を得る関数 $$\{N\in\mathbb{Z}\}$$
+
$$e^{xz}=\cos(x,z)+z\sin(x,z)$$
−
:$$\cos(x,\frac{\theta}{2\pi})=\begin{cases}
+
:偏角： $$\arg e^{xe^{i\theta}}=x\sin\theta~(\mathrm{rad})$$
−
e^x&(\theta=2N\pi)\\
+
:絶対値： $$|e^{xe^{i\theta}}|=e^{x\cos\theta}$$
−
\cosh x&(\theta=(2N+1)\pi)\\
+
:$$\displaystyle\cos(x,e^{i\theta})=\lim_{t\to\theta}\left[e^{x\cos t}\cos(x\sin t)-\frac{e^{x\cos t}\sin(x\sin t)}{\tan t}\right]$$
−
\displaystyle e^{x\cos\theta}\cos(x\sin\theta)-\frac{e^{x\cos\theta}\sin(x\sin\theta)}{\tan\theta}&(\theta\ne N\pi)
+
:$$\displaystyle\sin(x,e^{i\theta})=\lim_{t\to\theta}\left[\frac{e^{x\cos t}\sin(x\sin t)}{\sin t}\right]$$
−
\end{cases}$$
 
−
$$z$$ 部を得る関数 $$\{N\in\mathbb{
 
−
Z}\}$$
 
−
:$$\sin(x,\frac{\theta}{2\pi})=\begin{cases}0&(\theta=2N\pi)\\
 
−
\sinh x&(\theta=(2N+1)\pi)\\
 
−
\displaystyle \frac{e^{x\cos\theta}\sin(x\sin\theta)}{\sin\theta}&(\theta\ne N\pi)
 
−
\end{cases}$$
 
−
関係式
 
−
:$$e^{xz}=\cos(x,\frac{\theta}{2\pi})+z\sin(x,\frac{\theta}{2\pi})$$
 
−
:* 偏角： $$\arg(e^{xe^{i\theta}})=x\sin\theta~(\mathrm{rad})$$
 
−
:* 絶対値： $$|e^{xe^{i\theta}}|=e^{x\cos\theta}$$
 
  
  
 
標準化（$$\theta\ne N\pi$$、$$\{N\in\mathbb{Z}\}$$）
 
標準化（$$\theta\ne N\pi$$、$$\{N\in\mathbb{Z}\}$$）
−
:$$e^{i\alpha}=e^{-\alpha\cot\theta}\left[\cos(\frac{\alpha}{\sin\theta},\frac{\theta}{2\pi})+z\sin(\frac{\alpha}{\sin\theta},\frac{\theta}{2\pi})\right]$$
 
−
:* 偏角： $$\alpha$$
 
−
:* 絶対値： $$1$$
 
  
 +
$$e^{i\alpha}=e^{-\alpha\cot\theta}\left[\cos\left(\frac{\alpha}{\sin\theta},e^{i\theta}\right)+z\sin\left(\frac{\alpha}{\sin\theta},e^{i\theta}\right)\right]$$
 +
:偏角： $$\alpha$$
 +
:絶対値： $$1$$
  
 
==導出==
 
==導出==
−
$$+1$$ と $$z=e^{i\theta}$$ を（理論上の）基底の元とする斜交座標形式の複素数平面において、関数 $$f(x)=e^{xz}$$ を想定する。
+
$$e^{xz}=\cos\left(x,\frac{\theta}{2\pi}\right)+z\sin\left(x,\frac{\theta}{2\pi}\right)$$ の両辺を直交座標形式に変換
 +
 
  
 +
左辺
 +
:$$\begin{align*}
 +
e^{xz}=&e^{xe^{i\theta}}\\
 +
=&e^{x(\cos\theta+i\sin\theta)}\\
 +
=&e^{x\cos\theta}\cdot e^{ix\sin\theta}\\
 +
=&e^{x\cos\theta}[\cos(x\sin\theta)+i\sin(x\sin\theta)]\\
 +
=&e^{x\cos\theta}\cos(x\sin\theta)+ie^{x\cos\theta}\sin(x\sin\theta)
 +
\end{align*}$$
  
−
'''$$\frac{\theta}{2\pi}$$ が有理数 $$\frac{m}{n}$$ の場合'''
+
右辺
 +
:$$\begin{align*}
 +
&\textstyle\cos\left(x,\frac{\theta}{2\pi}\right)+z\sin\left(x,\frac{\theta}{2\pi}\right)\\
 +
=&\textstyle\cos\left(x,\frac{\theta}{2\pi}\right)+(\cos\theta+i\sin\theta)\sin\left(x,\frac{\theta}{2\pi}\right)\\
 +
=&\textstyle\left[\cos\left(x,\frac{\theta}{2\pi}\right)+\cos\theta\sin\left(x,\frac{\theta}{2\pi}\right)\right]+i\sin\theta\sin\left(x,\frac{\theta}{2\pi}\right)
 +
\end{align*}$$
  
−
$$z=e^{\frac{m}{n}\cdot2\pi i}$$ のマクローリン展開より
 
−
\begin{align}
 
−
e^{xz}
 
−
=&\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{k!}z^k\\
 
−
=&\sum_{p=0}^{n-1}\sum_{r=0}^{\infty}\frac{x^{nr+p}}{(nr+p)!}z^{nr+p}\quad\color{#f00}{\leftarrow~k=nr+p}\\
 
−
=&\underbrace{\sum_{r=0}^{\infty}\frac{x^{nr}}{(nr)!}z^{nr}}_{\color{#f00}{p=0}}+\underbrace{\sum_{r=0}^{\infty}\frac{x^{nr+1}}{(nr+1)!}z^{nr+1}}_{\color{#f00}{p=1}}+\underbrace{\sum_{p=2}^{n-1}\sum_{r=0}^{\infty}\frac{x^{nr+p}}{(nr+p)!}z^{nr+p}}_{\color{#f00}{p\geqq2}}\\
 
−
=&\sum_{r=0}^{\infty}\frac{x^{nr}}{(nr)!}+\sum_{r=0}^{\infty}\frac{x^{nr+1}}{(nr+1)!}z^m+\sum_{p=2}^{n-1}\sum_{r=0}^{\infty}\frac{x^{nr+p}}{(nr+p)!}(z^m)^p\end{align}
 
−
[[ガラパゴ累乗定理]]により $$(z^m)^p$$ を 実成分と $$z^m$$ 成分に分離
 
−
:$$\displaystyle\cos\left(x,\frac{m}{n}\right)=\sum_{r=0}^{\infty}\frac{x^{nr}}{(nr)!}-\sum_{p=2}^{n-1}\sum_{r=0}^{\infty}\frac{x^{nr+p}}{(nr+p)!}\left[\sum_{k=0}^{\lfloor (p-2)/2\rfloor}\binom{p-k-2}{k}(-1)^k\left(2\cos\left(m\theta\right)\right)^{p-2k-2}\right]$$
 
−
:$$\displaystyle\sin\left(x,\frac{m}{n}\right)=\sum_{p=1}^{n-1}\sum_{r=0}^{\infty}\frac{x^{nr+p}}{(nr+p)!}\left[\sum_{k=0}^{\lfloor (p-1)/2\rfloor}\binom{p-k-1}{k}(-1)^k\left(2\cos\left(m\theta\right)\right)^{p-2k-1}\right]$$
 
  
 +
両辺の実部と虚部を比較し、
  
−
$$\frac{m}{n}=\frac{1}{1}$$ のとき
+
$$\begin{align*}
−
:$$\displaystyle\cos\left(x,\frac{1}{1}\right)=\sum_{r=0}^{\infty}\frac{x^{r}}{r!}=e^x$$
+
\cos(x,e^{i\theta})=\lim_{t\to\theta}\left[e^{x\cos t}\cos(x\sin t)-\frac{e^{x\cos t}\sin(x\sin t)}{\tan t}\right]\\
−
:$$\displaystyle\sin\left(x,\frac{1}{1}\right)=0$$
+
\sin(x,e^{i\theta})=\lim_{t\to\theta}\left[\frac{e^{x\cos t}\sin(x\sin t)}{\sin t}\right]\\
 +
\end{align*}$$
  
 +
==級数展開形==
  
−
$$\frac{m}{n}=\pm\frac{1}{2}$$ のとき
+
$$+1$$ と $$z=e^{i\theta}$$ を（理論上の）基底の元とする斜交座標形式の複素数平面において、関数 $$f(x)=e^{xz}$$ を想定する。
−
:$$\displaystyle\cos\left(x,\pm\frac{1}{2}\right)=\sum_{r=0}^{\infty}\frac{x^{2r}}{(2r)!}=\cosh x$$
 
−
:$$\displaystyle\sin\left(x,\pm\frac{1}{2}\right)=\sum_{r=0}^{\infty}\frac{x^{2r+1}}{(2r+1)!}=\sinh x$$
 
  
  
−
$$\frac{m}{n}=\pm\frac{1}{3}$$ のとき（$$2\cos\theta=-1$$）
+
$$\exp$$関数のマクローリン展開より
−
:$$\displaystyle\cos\left(x,\pm\frac{1}{3}\right)=\sum_{r=0}^{\infty}\frac{x^{3r}}{(3r)!}-\sum_{r=0}^{\infty}\frac{x^{3r+2}}{(3r+2)!}$$
 
−
:$$\displaystyle\sin\left(x,\pm\frac{1}{3}\right)=\sum_{r=0}^{\infty}\frac{x^{3r+1}}{(3r+1)!}-\sum_{r=0}^{\infty}\frac{x^{3r+2}}{(3r+2)!}$$
 
  
 +
:$$\begin{align*}
 +
e^{xz}=&\exp(xz)\\
 +
=&\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(zx)^n}{n!}\\
 +
=&\frac{(zx)^0}{0!}+\frac{(zx)^1}{1!}+\sum_{n=2}^{n-1}\frac{(zx)^n}{n!}\\
 +
=&1+z+\sum_{n=2}^{n-1}\frac{x^n}{n!}z^n\\
 +
\end{align*}$$
  
−
$$\frac{m}{n}=\pm\frac{1}{4}$$ のとき（$$2\cos\theta=0$$）
 
−
:$$\displaystyle\cos\left(x,\pm\frac{1}{4}\right)=\sum_{r=0}^{\infty}\frac{x^{4r}}{(4r)!}-\sum_{r=0}^{\infty}\frac{x^{4r+2}}{(4r+2)!}=\cos x$$
 
−
:$$\displaystyle\sin\left(x,\pm\frac{1}{4}\right)=\sum_{r=0}^{\infty}\frac{x^{4r+1}}{(4r+1)!}-\sum_{r=0}^{\infty}\frac{x^{4r+3}}{(4r+3)!}=\sin x$$
 
  
 +
[[ガラパゴ累乗定理]]により $$z^n$$ は 実成分と $$z$$ 成分に分離できるため
 +
:$$\displaystyle\cos(x,e^{i\theta})=1-\sum_{n=2}^\infty\frac{x^n}{n!}\left[\sum_{k=0}^{\lfloor (n-2)/2\rfloor}\binom{n-k-2}{k}(-1)^k\left(2\cos\theta\right)^{n-2k-2}\right]$$
 +
:$$\displaystyle\sin(x,e^{i\theta})=1+\sum_{n=2}^\infty\frac{x^n}{n!}\left[\sum_{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor}\binom{n-k-1}{k}(-1)^k\left(2\cos\theta\right)^{n-2k-1}\right]$$
  
  
 +
あるいは漸化式を用いて
 +
:$$\begin{align*}
 +
\cos(x,e^{i\theta})=&-\sum_{k=0}^\infty\frac{A_{k-1}x^k}{k!}\\
 +
\sin(x,e^{i\theta})=&+\sum_{k=0}^\infty\frac{A_{k}x^k}{k!}\\
 +
\end{align*}
 +
\begin{cases}
 +
A_0=0\\
 +
A_1=1\\
 +
A_{k}=(2\cos\theta)A_{k-1}-A_{k-2}
 +
\end{cases}
 +
$$
  
−
'''$$\sin\theta\ne0$$ の場合（$$\frac{\theta}{2\pi}$$ が無理数の場合も含む）'''
 
  
−
$$e^{xz}=\cos\left(x,\frac{\theta}{2\pi}\right)+z\sin\left(x,\frac{\theta}{2\pi}\right)$$ の両辺を直交座標形式に変換
+
$$z=e^{2\pi i}$$ のとき（$$2\cos\theta=2$$）
 +
:$$\displaystyle\cos\left(x,1\right)=(1-x)e^x$$
 +
:$$\displaystyle\sin\left(x,1\right)=xe^x$$
  
−
左辺
 
−
\begin{align}
 
−
e^{xz}=&e^{xe^{i\theta}}\\
 
−
=&e^{x(\cos\theta+i\sin\theta)}\\
 
−
=&e^{x\cos\theta}\cdot e^{ix\sin\theta}\\
 
−
=&e^{x\cos\theta}[\cos(x\sin\theta)+i\sin(x\sin\theta)]\\
 
−
=&e^{x\cos\theta}\cos(x\sin\theta)+ie^{x\cos\theta}\sin(x\sin\theta)
 
−
\end{align}
 
  
−
右辺
+
$$1$$ の原始 $$2$$ 乗根 $$z=e^{\frac{2\pi i}{2}}$$ のとき（$$2\cos\theta=-2$$）
−
\begin{align}
+
:$$\displaystyle\cos\left(x,-1\right)=(1-x)e^{-x}$$
−
&\textstyle\cos\left(x,\frac{\theta}{2\pi}\right)+z\sin\left(x,\frac{\theta}{2\pi}\right)\\
+
:$$\displaystyle\sin\left(x,-1\right)=xe^{-x}$$
−
=&\textstyle\cos\left(x,\frac{\theta}{2\pi}\right)+(\cos\theta+i\sin\theta)\sin\left(x,\frac{\theta}{2\pi}\right)\\
 
−
=&\textstyle\left[\cos\left(x,\frac{\theta}{2\pi}\right)+\cos\theta\sin\left(x,\frac{\theta}{2\pi}\right)\right]+i\sin\theta\sin\left(x,\frac{\theta}{2\pi}\right)
 
−
\end{align}
 
  
  
−
$$\sin\theta\ne0$$ であるため、両辺の実部と虚部を比較して
+
$$1$$ の原始 $$3$$ 乗根 $$z=e^{\frac{2\pi i}{3}}$$ のとき（$$2\cos\theta=-1$$）
 +
:$$\displaystyle\cos\left(x,e^{\pm\frac{2\pi}{3}}\right)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{3k}}{(3k)!}-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{3k+2}}{(3k+2)!}$$
 +
:$$\displaystyle\sin\left(x,e^{\pm\frac{2\pi}{3}}\right)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{3k+1}}{(3k+1)!}-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{3k+2}}{(3k+2)!}$$
  
−
:$$\cos(x,\frac{\theta}{2\pi})=\displaystyle e^{x\cos\theta}\cos(x\sin\theta)-\frac{e^{x\cos\theta}\sin(x\sin\theta)}{\tan\theta}$$
 
−
:$$\sin(x,\frac{\theta}{2\pi})=\displaystyle \frac{e^{x\cos\theta}\sin(x\sin\theta)}{\sin\theta}$$
 
  
 +
$$1$$ の原始 $$4$$ 乗根 $$z=e^{\frac{2\pi i}{3}}$$ のとき（$$2\cos\theta=0$$）
 +
:$$\displaystyle\cos\left(x,e^{\pm\frac{\pi}{2}}\right)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{4k}}{(4k)!}-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{4k+2}}{(4kr+2)!}=\cos x$$
 +
:$$\displaystyle\sin\left(x,e^{\pm\frac{\pi}{2}}\right)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{4k+1}}{(4k+1)!}-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{4k+3}}{(4k+3)!}=\sin x$$
  
 
==exps関数を用いた表現==
 
==exps関数を用いた表現==
 
$$\exp$$ 関数をマクローリン展開した各項より、$$x$$ の指数が [$$n$$ の倍数－$$m$$] 以外の係数を $$0$$ とした関数を $$\mathrm{exps}(x,n,m)$$ とする。
 
$$\exp$$ 関数をマクローリン展開した各項より、$$x$$ の指数が [$$n$$ の倍数－$$m$$] 以外の係数を $$0$$ とした関数を $$\mathrm{exps}(x,n,m)$$ とする。
  
−
\begin{align}
+
 
 +
$$\begin{align*}
 
\mathrm{exps}(x,n,m)
 
\mathrm{exps}(x,n,m)
 
=&\left(\sum_{k=0}^\infty\frac{x^{kn}}{(kn)!}\right)^{(m)}\quad\color{#f00}{\leftarrow~(m)~は~m~階微分の意}\\
 
=&\left(\sum_{k=0}^\infty\frac{x^{kn}}{(kn)!}\right)^{(m)}\quad\color{#f00}{\leftarrow~(m)~は~m~階微分の意}\\
 
=&\frac{1}{n}\sum_{k=0}^\infty\left(\left(e^{\frac{m}{n}\cdot2\pi i}\right)^ke^{\left(e^{\frac{2\pi i}{n}}\right)^kx}\right)\\
 
=&\frac{1}{n}\sum_{k=0}^\infty\left(\left(e^{\frac{m}{n}\cdot2\pi i}\right)^ke^{\left(e^{\frac{2\pi i}{n}}\right)^kx}\right)\\
 
=&\frac{1}{n}\sum_{k=0}^\infty\left(\exp\left(\frac{2km\pi}{n}i+\exp\left(\frac{2k\pi}{n}i\right)x\right)\right)
 
=&\frac{1}{n}\sum_{k=0}^\infty\left(\exp\left(\frac{2km\pi}{n}i+\exp\left(\frac{2k\pi}{n}i\right)x\right)\right)
−
\end{align}
+
\end{align*}$$
 +
 
 +
 
 +
この関数は $$n$$ 階微分したとき元の関数と一致する関数（'''周階原始関数'''）を構成する標準基底の元となりうる関数である。ガラパゴ三角関数は $$e^{\frac{\theta}{2\pi}}$$ が実数ではないときに周階原始関数となり、以下のように示すことが可能である。
  
−
この関数は $$n$$ 階微分したとき元の関数と一致する関数（'''周階原始関数'''）を構成する標準基底の元となりうる関数である。ガラパゴ三角関数は $$\frac{\theta}{2\pi}$$ が有理数のときに周階原始関数となり、以下のように示すことが可能である。
 
  
−
\begin{array}{rcrcrcl}
+
\begin{array}{rcrcrcl}&&\textstyle\cos\left(x,e^{\frac{1}{3}\cdot2\pi i}\right)&&&=&\mathrm{exps}\left(x,3,0\right)-\left(x,3,1\right)\\
−
\textstyle\exp(x)&=&\cos\left(x,\frac{1}{1}\right)&&&=&\mathrm{exps}\left(x,1,0\right)\\\\
+
&&\textstyle\sin\left(x,e^{\frac{2}{3}\cdot2\pi i}\right)&=&-\sin\left(x,e^{\frac{1}{3}\cdot2\pi i}\right)&=&\mathrm{exps}\left(x,3,1\right)-\left(x,3,2\right)&\\
−
\textstyle\cosh(x)&=&\cos\left(x,\frac{1}{2}\right)&&&=&\mathrm{exps}\left(x,2,0\right)\\
+
&&\textstyle-\cos\left(x,e^{\frac{2}{3}\cdot2\pi i}\right)&&&=&\mathrm{exps}\left(x,3,2\right)-\left(x,3,0\right)\\
−
\textstyle\sinh(x)&=&\sin\left(x,\frac{1}{2}\right)&&&=&\mathrm{exps}\left(x,2,1\right)\\\\
+
&&\textstyle\cos\left(x,e^{\frac{2}{3}\cdot2\pi i}\right)&&&=&\mathrm{exps}\left(x,3,0\right)-\left(x,3,2\right)\\
−
&&\textstyle\cos\left(x,\frac{1}{3}\right)&&&=&\mathrm{exps}\left(x,3,0\right)-\left(x,3,1\right)\\
+
&&\textstyle-\cos\left(x,e^{\frac{1}{3}\cdot2\pi i}\right)&&&=&\mathrm{exps}\left(x,3,1\right)-\left(x,3,0\right)\\
−
&&\textstyle\sin\left(x,\frac{2}{3}\right)&=&-\sin\left(x,\frac{1}{3}\right)&=&\mathrm{exps}\left(x,3,1\right)-\left(x,3,2\right)&\\
+
&&\textstyle\sin\left(x,e^{\frac{1}{3}\cdot2\pi i}\right)&=&-\sin\left(x,e^{\frac{2}{3}\cdot2\pi i}\right)&=&\mathrm{exps}\left(x,3,2\right)-\left(x,3,1\right)\\\\
−
&&\textstyle-\cos\left(x,\frac{2}{3}\right)&&&=&\mathrm{exps}\left(x,3,2\right)-\left(x,3,0\right)\\
+
\textstyle\cos(x)&=&\cos\left(x,e^{\frac{1}{4}\cdot2\pi i}\right)&=&\cos\left(x,e^{\frac{3}{4}\cdot2\pi i}\right)&=&\mathrm{exps}\left(x,4,0\right)-\left(x,4,2\right)\\
−
&&\textstyle\cos\left(x,\frac{2}{3}\right)&&&=&\mathrm{exps}\left(x,3,0\right)-\left(x,3,2\right)\\
+
\textstyle-\sin(x)&=&-\sin\left(x,e^{\frac{1}{4}\cdot2\pi i}\right)&=&\sin\left(x,e^{\frac{3}{4}\cdot2\pi i}\right)&=&\mathrm{exps}\left(x,4,1\right)-\left(x,4,3\right)\\
−
&&\textstyle-\cos\left(x,\frac{1}{3}\right)&&&=&\mathrm{exps}\left(x,3,1\right)-\left(x,3,0\right)\\
+
\textstyle-\cos(x)&=&-\cos\left(x,e^{\frac{1}{4}\cdot2\pi i}\right)&=&-\cos\left(x,e^{\frac{3}{4}\cdot2\pi i}\right)&=&\mathrm{exps}\left(x,4,2\right)-\left(x,4,0\right)\\
−
&&\textstyle\sin\left(x,\frac{1}{3}\right)&=&-\sin\left(x,\frac{2}{3}\right)&=&\mathrm{exps}\left(x,3,2\right)-\left(x,3,1\right)\\\\
+
\textstyle\sin(x)&=&\sin\left(x,e^{\frac{1}{4}\cdot2\pi i}\right)&=&-\sin\left(x,e^{\frac{3}{4}\cdot2\pi i}\right)&=&\mathrm{exps}\left(x,4,3\right)-\left(x,4,1\right)&\\\\
−
\textstyle\cos(x)&=&\cos\left(x,\frac{1}{4}\right)&=&\cos\left(x,\frac{3}{4}\right)&=&\mathrm{exps}\left(x,4,0\right)-\left(x,4,2\right)\\
+
&&\textstyle\cos\left(x,e^{\frac{1}{6}\cdot2\pi i}\right)&=&\cos\left(x,e^{\frac{4}{6}\cdot2\pi i}\right)&=&\mathrm{exps}\left(x,6,0\right)+\left(x,6,1\right)-\left(x,6,3\right)-\left(x,6,4\right)\\
−
\textstyle-\sin(x)&=&-\sin\left(x,\frac{1}{4}\right)&=&\sin\left(x,\frac{3}{4}\right)&=&\mathrm{exps}\left(x,4,1\right)-\left(x,4,3\right)\\
+
&&\textstyle-\sin\left(x,e^{\frac{1}{6}\cdot2\pi i}\right)&=&\sin\left(x,e^{\frac{4}{6}\cdot2\pi i}\right)&=&\mathrm{exps}\left(x,6,1\right)+\left(x,6,2\right)-\left(x,6,4\right)-\left(x,6,5\right)\\
−
\textstyle-\cos(x)&=&-\cos\left(x,\frac{1}{4}\right)&=&-\cos\left(x,\frac{3}{4}\right)&=&\mathrm{exps}\left(x,4,2\right)-\left(x,4,0\right)\\
+
&&\textstyle-\cos\left(x,e^{\frac{2}{6}\cdot2\pi i}\right)&=&-\cos\left(x,e^{\frac{5}{6}\cdot2\pi i}\right)&=&\mathrm{exps}\left(x,6,2\right)+\left(x,6,3\right)-\left(x,6,5\right)-\left(x,6,0\right)\\
−
\textstyle\sin(x)&=&\sin\left(x,\frac{1}{4}\right)&=&-\sin\left(x,\frac{3}{4}\right)&=&\mathrm{exps}\left(x,4,3\right)-\left(x,4,1\right)&\\\\
+
&&\textstyle-\cos\left(x,e^{\frac{1}{6}\cdot2\pi i}\right)&=&-\cos\left(x,e^{\frac{4}{6}\cdot2\pi i}\right)&=&\mathrm{exps}\left(x,6,3\right)+\left(x,6,4\right)-\left(x,6,0\right)-\left(x,6,1\right)\\
−
&&\textstyle\cos\left(x,\frac{1}{6}\right)&=&\cos\left(x,\frac{4}{6}\right)&=&\mathrm{exps}\left(x,6,0\right)+\left(x,6,1\right)-\left(x,6,3\right)-\left(x,6,4\right)\\
+
&&\textstyle\sin\left(x,e^{\frac{1}{6}\cdot2\pi i}\right)&=&\sin\left(x,e^{\frac{2}{6}\cdot2\pi i}\right)&=&\mathrm{exps}\left(x,6,4\right)+\left(x,6,5\right)-\left(x,6,1\right)-\left(x,6,2\right)\\
−
&&\textstyle-\sin\left(x,\frac{1}{6}\right)&=&\sin\left(x,\frac{4}{6}\right)&=&\mathrm{exps}\left(x,6,1\right)+\left(x,6,2\right)-\left(x,6,4\right)-\left(x,6,5\right)\\
+
&&\textstyle\cos\left(x,e^{\frac{2}{6}\cdot2\pi i}\right)&=&\cos\left(x,e^{\frac{4}{6}\cdot2\pi i}\right)&=&\mathrm{exps}\left(x,6,5\right)+\left(x,6,0\right)-\left(x,6,2\right)-\left(x,6,3\right)\\
−
&&\textstyle-\cos\left(x,\frac{2}{6}\right)&=&-\cos\left(x,\frac{5}{6}\right)&=&\mathrm{exps}\left(x,6,2\right)+\left(x,6,3\right)-\left(x,6,5\right)-\left(x,6,0\right)\\
 
−
&&\textstyle-\cos\left(x,\frac{1}{6}\right)&=&-\cos\left(x,\frac{4}{6}\right)&=&\mathrm{exps}\left(x,6,3\right)+\left(x,6,4\right)-\left(x,6,0\right)-\left(x,6,1\right)\\
 
−
&&\textstyle\sin\left(x,\frac{1}{6}\right)&=&\sin\left(x,\frac{2}{6}\right)&=&\mathrm{exps}\left(x,6,4\right)+\left(x,6,5\right)-\left(x,6,1\right)-\left(x,6,2\right)\\
 
−
&&\textstyle\cos\left(x,\frac{2}{6}\right)&=&\cos\left(x,\frac{4}{6}\right)&=&\mathrm{exps}\left(x,6,5\right)+\left(x,6,0\right)-\left(x,6,2\right)-\left(x,6,3\right)\\
 
 
\end{array}
 
\end{array}

2019年9月20日 (金) 00:05時点における版

ガラパゴ三角関数（ガラパゴさんかくかんすう）とは、$$+1$$ と $$z=e^{i\theta}$$ を理論上の基底の元（$$z$$ が実数であっても独立した元であるものとみなして区別）とする斜交座標系において、極座標 $$e^{xz}$$ が示す座標の実部と $$z$$ 部を得る関数である。一般的な三角関数の純粋な拡張として みゆ により考案された。


$$e^{xz}=\cos(x,z)+z\sin(x,z)$$

偏角： $$\arg e^{xe^{i\theta}}=x\sin\theta~(\mathrm{rad})$$
絶対値： $$|e^{xe^{i\theta}}|=e^{x\cos\theta}$$
$$\displaystyle\cos(x,e^{i\theta})=\lim_{t\to\theta}\left[e^{x\cos t}\cos(x\sin t)-\frac{e^{x\cos t}\sin(x\sin t)}{\tan t}\right]$$
$$\displaystyle\sin(x,e^{i\theta})=\lim_{t\to\theta}\left[\frac{e^{x\cos t}\sin(x\sin t)}{\sin t}\right]$$


標準化（$$\theta\ne N\pi$$、$$\{N\in\mathbb{Z}\}$$）

$$e^{i\alpha}=e^{-\alpha\cot\theta}\left[\cos\left(\frac{\alpha}{\sin\theta},e^{i\theta}\right)+z\sin\left(\frac{\alpha}{\sin\theta},e^{i\theta}\right)\right]$$

偏角： $$\alpha$$
絶対値： $$1$$

導出

$$e^{xz}=\cos\left(x,\frac{\theta}{2\pi}\right)+z\sin\left(x,\frac{\theta}{2\pi}\right)$$ の両辺を直交座標形式に変換


左辺

$$\begin{align*} e^{xz}=&e^{xe^{i\theta}}\\ =&e^{x(\cos\theta+i\sin\theta)}\\ =&e^{x\cos\theta}\cdot e^{ix\sin\theta}\\ =&e^{x\cos\theta}[\cos(x\sin\theta)+i\sin(x\sin\theta)]\\ =&e^{x\cos\theta}\cos(x\sin\theta)+ie^{x\cos\theta}\sin(x\sin\theta) \end{align*}$$

右辺

$$\begin{align*} &\textstyle\cos\left(x,\frac{\theta}{2\pi}\right)+z\sin\left(x,\frac{\theta}{2\pi}\right)\\ =&\textstyle\cos\left(x,\frac{\theta}{2\pi}\right)+(\cos\theta+i\sin\theta)\sin\left(x,\frac{\theta}{2\pi}\right)\\ =&\textstyle\left[\cos\left(x,\frac{\theta}{2\pi}\right)+\cos\theta\sin\left(x,\frac{\theta}{2\pi}\right)\right]+i\sin\theta\sin\left(x,\frac{\theta}{2\pi}\right) \end{align*}$$


両辺の実部と虚部を比較し、

$$\begin{align*} \cos(x,e^{i\theta})=\lim_{t\to\theta}\left[e^{x\cos t}\cos(x\sin t)-\frac{e^{x\cos t}\sin(x\sin t)}{\tan t}\right]\\ \sin(x,e^{i\theta})=\lim_{t\to\theta}\left[\frac{e^{x\cos t}\sin(x\sin t)}{\sin t}\right]\\ \end{align*}$$

級数展開形

$$+1$$ と $$z=e^{i\theta}$$ を（理論上の）基底の元とする斜交座標形式の複素数平面において、関数 $$f(x)=e^{xz}$$ を想定する。


$$\exp$$関数のマクローリン展開より

$$\begin{align*} e^{xz}=&\exp(xz)\\ =&\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(zx)^n}{n!}\\ =&\frac{(zx)^0}{0!}+\frac{(zx)^1}{1!}+\sum_{n=2}^{n-1}\frac{(zx)^n}{n!}\\ =&1+z+\sum_{n=2}^{n-1}\frac{x^n}{n!}z^n\\ \end{align*}$$


ガラパゴ累乗定理により $$z^n$$ は 実成分と $$z$$ 成分に分離できるため

$$\displaystyle\cos(x,e^{i\theta})=1-\sum_{n=2}^\infty\frac{x^n}{n!}\left[\sum_{k=0}^{\lfloor (n-2)/2\rfloor}\binom{n-k-2}{k}(-1)^k\left(2\cos\theta\right)^{n-2k-2}\right]$$
$$\displaystyle\sin(x,e^{i\theta})=1+\sum_{n=2}^\infty\frac{x^n}{n!}\left[\sum_{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor}\binom{n-k-1}{k}(-1)^k\left(2\cos\theta\right)^{n-2k-1}\right]$$


あるいは漸化式を用いて

$$\begin{align*} \cos(x,e^{i\theta})=&-\sum_{k=0}^\infty\frac{A_{k-1}x^k}{k!}\\ \sin(x,e^{i\theta})=&+\sum_{k=0}^\infty\frac{A_{k}x^k}{k!}\\ \end{align*} \begin{cases} A_0=0\\ A_1=1\\ A_{k}=(2\cos\theta)A_{k-1}-A_{k-2} \end{cases} $$


$$z=e^{2\pi i}$$ のとき（$$2\cos\theta=2$$）

$$\displaystyle\cos\left(x,1\right)=(1-x)e^x$$
$$\displaystyle\sin\left(x,1\right)=xe^x$$


$$1$$ の原始 $$2$$ 乗根 $$z=e^{\frac{2\pi i}{2}}$$ のとき（$$2\cos\theta=-2$$）

$$\displaystyle\cos\left(x,-1\right)=(1-x)e^{-x}$$
$$\displaystyle\sin\left(x,-1\right)=xe^{-x}$$


$$1$$ の原始 $$3$$ 乗根 $$z=e^{\frac{2\pi i}{3}}$$ のとき（$$2\cos\theta=-1$$）

$$\displaystyle\cos\left(x,e^{\pm\frac{2\pi}{3}}\right)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{3k}}{(3k)!}-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{3k+2}}{(3k+2)!}$$
$$\displaystyle\sin\left(x,e^{\pm\frac{2\pi}{3}}\right)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{3k+1}}{(3k+1)!}-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{3k+2}}{(3k+2)!}$$


$$1$$ の原始 $$4$$ 乗根 $$z=e^{\frac{2\pi i}{3}}$$ のとき（$$2\cos\theta=0$$）

$$\displaystyle\cos\left(x,e^{\pm\frac{\pi}{2}}\right)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{4k}}{(4k)!}-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{4k+2}}{(4kr+2)!}=\cos x$$
$$\displaystyle\sin\left(x,e^{\pm\frac{\pi}{2}}\right)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{4k+1}}{(4k+1)!}-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{4k+3}}{(4k+3)!}=\sin x$$

exps関数を用いた表現

$$\exp$$ 関数をマクローリン展開した各項より、$$x$$ の指数が [$$n$$ の倍数－$$m$$] 以外の係数を $$0$$ とした関数を $$\mathrm{exps}(x,n,m)$$ とする。


$$\begin{align*} \mathrm{exps}(x,n,m) =&\left(\sum_{k=0}^\infty\frac{x^{kn}}{(kn)!}\right)^{(m)}\quad\color{#f00}{\leftarrow~(m)~は~m~階微分の意}\\ =&\frac{1}{n}\sum_{k=0}^\infty\left(\left(e^{\frac{m}{n}\cdot2\pi i}\right)^ke^{\left(e^{\frac{2\pi i}{n}}\right)^kx}\right)\\ =&\frac{1}{n}\sum_{k=0}^\infty\left(\exp\left(\frac{2km\pi}{n}i+\exp\left(\frac{2k\pi}{n}i\right)x\right)\right) \end{align*}$$


この関数は $$n$$ 階微分したとき元の関数と一致する関数（周階原始関数）を構成する標準基底の元となりうる関数である。ガラパゴ三角関数は $$e^{\frac{\theta}{2\pi}}$$ が実数ではないときに周階原始関数となり、以下のように示すことが可能である。


\begin{array}{rcrcrcl}&&\textstyle\cos\left(x,e^{\frac{1}{3}\cdot2\pi i}\right)&&&=&\mathrm{exps}\left(x,3,0\right)-\left(x,3,1\right)\\ &&\textstyle\sin\left(x,e^{\frac{2}{3}\cdot2\pi i}\right)&=&-\sin\left(x,e^{\frac{1}{3}\cdot2\pi i}\right)&=&\mathrm{exps}\left(x,3,1\right)-\left(x,3,2\right)&\\ &&\textstyle-\cos\left(x,e^{\frac{2}{3}\cdot2\pi i}\right)&&&=&\mathrm{exps}\left(x,3,2\right)-\left(x,3,0\right)\\ &&\textstyle\cos\left(x,e^{\frac{2}{3}\cdot2\pi i}\right)&&&=&\mathrm{exps}\left(x,3,0\right)-\left(x,3,2\right)\\ &&\textstyle-\cos\left(x,e^{\frac{1}{3}\cdot2\pi i}\right)&&&=&\mathrm{exps}\left(x,3,1\right)-\left(x,3,0\right)\\ &&\textstyle\sin\left(x,e^{\frac{1}{3}\cdot2\pi i}\right)&=&-\sin\left(x,e^{\frac{2}{3}\cdot2\pi i}\right)&=&\mathrm{exps}\left(x,3,2\right)-\left(x,3,1\right)\\\\ \textstyle\cos(x)&=&\cos\left(x,e^{\frac{1}{4}\cdot2\pi i}\right)&=&\cos\left(x,e^{\frac{3}{4}\cdot2\pi i}\right)&=&\mathrm{exps}\left(x,4,0\right)-\left(x,4,2\right)\\ \textstyle-\sin(x)&=&-\sin\left(x,e^{\frac{1}{4}\cdot2\pi i}\right)&=&\sin\left(x,e^{\frac{3}{4}\cdot2\pi i}\right)&=&\mathrm{exps}\left(x,4,1\right)-\left(x,4,3\right)\\ \textstyle-\cos(x)&=&-\cos\left(x,e^{\frac{1}{4}\cdot2\pi i}\right)&=&-\cos\left(x,e^{\frac{3}{4}\cdot2\pi i}\right)&=&\mathrm{exps}\left(x,4,2\right)-\left(x,4,0\right)\\ \textstyle\sin(x)&=&\sin\left(x,e^{\frac{1}{4}\cdot2\pi i}\right)&=&-\sin\left(x,e^{\frac{3}{4}\cdot2\pi i}\right)&=&\mathrm{exps}\left(x,4,3\right)-\left(x,4,1\right)&\\\\ &&\textstyle\cos\left(x,e^{\frac{1}{6}\cdot2\pi i}\right)&=&\cos\left(x,e^{\frac{4}{6}\cdot2\pi i}\right)&=&\mathrm{exps}\left(x,6,0\right)+\left(x,6,1\right)-\left(x,6,3\right)-\left(x,6,4\right)\\ &&\textstyle-\sin\left(x,e^{\frac{1}{6}\cdot2\pi i}\right)&=&\sin\left(x,e^{\frac{4}{6}\cdot2\pi i}\right)&=&\mathrm{exps}\left(x,6,1\right)+\left(x,6,2\right)-\left(x,6,4\right)-\left(x,6,5\right)\\ &&\textstyle-\cos\left(x,e^{\frac{2}{6}\cdot2\pi i}\right)&=&-\cos\left(x,e^{\frac{5}{6}\cdot2\pi i}\right)&=&\mathrm{exps}\left(x,6,2\right)+\left(x,6,3\right)-\left(x,6,5\right)-\left(x,6,0\right)\\ &&\textstyle-\cos\left(x,e^{\frac{1}{6}\cdot2\pi i}\right)&=&-\cos\left(x,e^{\frac{4}{6}\cdot2\pi i}\right)&=&\mathrm{exps}\left(x,6,3\right)+\left(x,6,4\right)-\left(x,6,0\right)-\left(x,6,1\right)\\ &&\textstyle\sin\left(x,e^{\frac{1}{6}\cdot2\pi i}\right)&=&\sin\left(x,e^{\frac{2}{6}\cdot2\pi i}\right)&=&\mathrm{exps}\left(x,6,4\right)+\left(x,6,5\right)-\left(x,6,1\right)-\left(x,6,2\right)\\ &&\textstyle\cos\left(x,e^{\frac{2}{6}\cdot2\pi i}\right)&=&\cos\left(x,e^{\frac{4}{6}\cdot2\pi i}\right)&=&\mathrm{exps}\left(x,6,5\right)+\left(x,6,0\right)-\left(x,6,2\right)-\left(x,6,3\right)\\ \end{array}

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