これは\( O_1+O_0=O_1, O_1+O_1=O_2, O_1+O_2=O_3, \cdots \)のという列の極限である。すなわち、自然数\( 1, 2, 3, \cdots \)の極限が\( +\infty \)であるのと同様にして、順序数\( O_1, O_2, O_3, \cdots \)の極限は\( O_{\omega} \)となる。すなわち、
$$ O_1 + O_{\omega} + O_1 = O_{\omega+1} \neq O_{\omega} = O_1 + O_1 O_{\omega} $$
である。
[ここに\( \begin{align*}& O_{\omega}+O_{\omega} \)の例を挿入し、極限順序数同士の和が必ずしも\=& \lim_{\gamma < \omega} ( O_{\omega} + \gamma) \\\end{align*} \)ではないことを説明する]
[自然数との類似点・相違点を挿入]これは\( O_{\omega}+O_0=O_{\omega}, O_{\omega}+O_1=O_{\omega+1}, O_{\omega}+O_2=O_{\omega+2}, \cdots \)のという列の極限である。すなわち、 $$ O_{\omega} + O_{\omega} = O_{\omega2} $$ である。ある意味で、\( O_{\omega2} \)は「無限よりさらに大きい無限」であると言える。 自然数との類似点: 自然数\( a, b \)に対し、\( a+b=c \)とすると、\( O_a + O_b = O_c \)が成り立つ。 自然数との相違点: どんな自然数\( a, b \)に対しても\( a + b = b + a \)であるが、どんな順序数\( \alpha, \beta \)に対しても\( \alpha + \beta = \beta + \alpha \)が成り立つとは限らない。
====3. 順序数の乗法====