Wikiいけめん
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そもそも高校数学で数学基礎論をやろうとすること自体に無理がある。完成する頃にはこのページだけでますらばのサーバが死ぬのではないか?
この記事はジョークでは'''ありません'''。
前提知識: 高校数学(ほとんどⅠA)。数ⅡBの知識は。<s>数ⅡBの知識は(たぶん)必要ないし、数Ⅲの知識は全く必要ない。</s>極限の概念が必要なので数Ⅲを勉強してください。極限は必要ですが微積は必要ありません。
目標知識: 到達不可能基数の定義。あわよくばマーロ基数まで行きたい。
====2. 順序数の加法====
順序数\( \alpha, \beta \)に対し、\( \alpha + \beta \)を次のように定義する。
# \( \beta = O_0 = \emptyset \)のとき: \( \alpha + O_0 = \beta \)
# \( \beta = \mathrm{succ}(\gamma) \)のとき: \( \alpha + \mathrm{succ}(\gamma) = \succ{\alpha + \gamma} \)
# それ以外のとき: \( \alpha + \beta = \lim_{\gamma < \beta} (\alpha + \beta) \)
ただし、最後の式の\( \lim \)は\( \gamma < \beta \)の範囲での順序数的な意味での極限である。高校数学のように書くなら\( \lim_{\gamma \rightarrow \beta - 0} \)となるが、順序数とマイナス記号を同時に扱うことはあまりないのでこのような書き方になっている。
以下に例を示す。
\( \begin{align*}
& O_3 + O_2 \\
=& O_3 + \mathrm{succ}(O_1) \\
=& \mathrm{succ}(O_3 + O_1) \\
=& \mathrm{succ}(O_3 + \mathrm{succ}(O_0)) \\
=& \mathrm{succ}(\mathrm{succ}(O_3 + O_0)) \\
=& \mathrm{succ}(\mathrm{succ}(O_3)) \\
=& \mathrm{succ}(O_4) \\
=& O_5 \\
\end{align*} \)
この例のように、自然数\( a, b \)に対して\( O_a + O_b = O_{a+b} \)が成り立つことが知られている。
\( \begin{align*}
& O_{\omega} + O_1 \\
=& O_{\omega} + \mathrm{succ}(O_0) \\
=& \mathrm{succ}(O_{\omega} + O_0) \\
=& \mathrm{succ}(O_{\omega}) \\
=& O_{\omega+1}
\end{align*} \)
これが\( \mathrm{succ}(\omega) \)を\( O_{\omega+1} \)と表記する理由である。
\( \begin{align*}
& O_1 + O_{\omega} \\
=& \lim_{\gamma < \omega} (O_1 + \gamma) \\
\end{align*} \)
これは\( O_1+O_0=O_1, O_1+O_1=O_2, O_1+O_2=O_3, \cdots \)のという列の極限である。すなわち、自然数\( 1, 2, 3, \cdots \)の極限が\( +\infty \)であるのと同様にして、順序数\( O_1, O_2, O_3, \cdots \)の極限は\( O_{\omega} \)となる。すなわち、
$$ O_1 + O_{\omega} = O_{\omega} \neq O_{\omega} + O_1 $$
である。
[ここに\( O_{\omega}+O_{\omega} \)の例を挿入し、極限順序数同士の和が必ずしも\( O_{\omega} \)ではないことを説明する]
[自然数との類似点・相違点を挿入]
====3. 順序数の乗法====
順序数\( \alpha, \beta \)に対し、\( \alpha \cdot \beta \)を次のように定義する。
[定義を挿入]
[自然数の例を挿入]
[非可換な例を挿入]
[自然数との類似点・相違点を挿入]
==第1½章 カントールの対角線論法==
[実数と自然数に対するカントールの対角線論法を挿入]
[一般の集合に対するカントールの対角線論法を挿入]
==第1¾章 全射・単射・全単射==
==第2章 基数と共終数==
==第3章 到達不能基数==
