差分

ガラパゴ三角関数 $$\cos_zx$$、$$\sin_zx$$ は、次のように表される。 :$$\begin{align*}&\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}z\right)^n=e^{xz}=\cos_zx+z\sin_zx\\&\quad\begin{cases}z=e^{i\theta}\\\displaystyle\cos_zx=\lim_{t\to\theta}\left[e^{x\cos t}\cos(x,z\sin t)+z-\frac{e^{x\cos t}\sin(x,z\sin t)}{\tan t}\right]\\\displaystyle\sin_zx=&\left(-lim_{t\to\sum_{k=0theta}^\inftyleft[\frac{A_e^{k-1x\cos t}\sin(x^k\sin t)}{k!\sin t}\right)]\end{cases}\end{align*}$$  この式は次の数列 $$\begin{pmatrix}A_{n+z1}\\left(A_n\sum_end{kpmatrix}=0\begin{pmatrix}^2\cos\theta&l\\infty1&0\frac{A_end{kpmatrix}x^k}n\begin{k!pmatrix}1\right)\quad0\end{pmatrix}$$ すなわち $$\begin{cases}

A_{kn}=(2\cos\theta)A_{kn-1}-A_{kn-2}\end{cases}\end{align*}$$ を用いると、級数展開型にて書き改めることができる。 :偏角： $$\arg begin{align*}e^{xz}=&\arg ecos_zx+z\sin_zx\\=&\left(-\sum_{k=0}^\infty\frac{A_{xek-1}x^k}{ik!}\right)+z\left(\thetasum_{k=0}^\infty\frac{A_{k}=x^k}{k!}\right)\sin\theta~(\mathrmend{radalign*})$$:絶対値：  $$|e^{xz}|z=|e^{xe^{i\theta}}|=e^{x\cos\theta}+i\sin\theta$$:、すなわち $$\displaystyle\cos(x,e^{i\thetaxz})=\lim_{t\to\theta}\left[e^{x(\cos t}\cos(xtheta+i\sin t\theta)-\frac{}=e^{x\cos t}\theta+ix\sin(x\sin t)theta}$$ であることから、 $$e^{\tan txz}\right]$$:の偏角は $$\displaystyle\sin(x,arg e^{i\thetaxz})=x\lim_{t\tosin\theta$$、絶対値は $$|e^{xz}\left[\frac{|=e^{x\cos t}\sin(x\sin t)theta}{\sin t}\right]$$であることがわかる。

標準化（$$\{\theta\ne N\pi$$、$$\{mid N\in\mathbb{Z}\}$$）においては $$|e^{xz}|=1$$ へ標準化することで直交座標系との関係性が次のように示される。

$$\begin{cases}\alpha=\arg e^{xz}=x\sin\theta\\\begin{align*}e^{i\alpha}=&\cos\alpha+i\sin\alpha\\=&e^{-\alpha\cot\theta}\left[\cos\left(cos_z\frac{\alpha}{\sin\theta},e^{i\theta}\right)+z\sin\left(sin_z\frac{\alpha}{\sin\theta},e^{i\theta}\right)\right]$$:偏角： $$\arg e^end{i\alphaalign*}=\alpha$$:絶対値： $$|e^end{i\alphacases}|=1$$

$$z=e^{xe^{i\theta}}=\cos\left(x,$$ において、 $$e^{i\thetaxz}=\right)cos_zx+z\sin\left(x,e^{i\theta}\right)sin_zx$$ の両辺を直交座標形式に変換

&\cos\left(x,e^{i\theta}\right)cos_zx+z\sin\left(x,e^{i\theta}\right)sin_zx\\=&\cos\left(x,e^{i\theta}\right)cos_zx+(\cos\theta+i\sin\theta)\sin\left(x,e^{i\theta}\right)sin_zx\\=&\left[\cos\left(x,e^{i\theta}\right)cos_zx+\cos\theta\sin\left(x,e^{i\theta}\right)sin_zx\right]+i\sin\theta\sin\left(x,e^{i\theta}\right)sin_zx

:$$e^{x\cos\theta}\cos(x\sin\theta)=\cos\left(x,e^{i\theta}\right)cos_zx+\cos\theta\sin\left(x,e^{i\theta}\right)sin_zx$$:$$e^{x\cos\theta}\sin(x\sin\theta)=\sin\theta\sin\left(x,e^{i\theta}\right)sin_zx$$

\cos(x,e^{i\theta})cos_zx&=\lim_{t\to\theta}\left[e^{x\cos t}\cos(x\sin t)-\frac{e^{x\cos t}\sin(x\sin t)}{\tan t}\right]\\\sin(x,e^{i\theta})sin_zx&=\lim_{t\to\theta}\left[\frac{e^{x\cos t}\sin(x\sin t)}{\sin t}\right]\\

:$$\displaystyle\cos(x,e^{i\theta})cos_zx=1-\sum_{n=2}^\infty\frac{x^n}{n!}\left[\sum_{k=0}^{\lfloor (n-2)/2\rfloor}\binom{n-k-2}{k}(-1)^k\left(2\cos\theta\right)^{n-2k-2}\right]$$:$$\displaystyle\sin(x,e^{i\theta})sin_zx=x+\sum_{n=2}^\infty\frac{x^n}{n!}\left[\sum_{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor}\binom{n-k-1}{k}(-1)^k\left(2\cos\theta\right)^{n-2k-1}\right]$$

\cos(x,e^{i\theta})cos_zx=&-\sum_{k=0}^\infty\frac{A_{k-1}x^k}{k!}\\\sin(x,e^{i\theta})sin_zx=&+\sum_{k=0}^\infty\frac{A_{k}x^k}{k!}\\

$$z=\mathrm{P}=e^{2\pi i}=1$$ のとき（のとき $$\rightarrow~2\cos\theta=2$$）:$$\displaystyle\cos\left(x,1\right)cos_zx=(1-x)e^x$$:$$\displaystyle\sin\left(x,1\right)sin_zx=xe^x$$ 

$$\mathrm{exp}_s$$ 関数をマクローリン展開した各項より、関数（skipped exponential 関数）を次のように定義する。 $$\displaystyle\exp_s(x)=\left(\sum_{k=0}^\infty\frac{x^{ks}}{(ks)!}\right)$$ の指数が [  この関数は $$n\exp$$ の倍数－関数をマクローリン展開した各項のうち、$$mx$$] 以外の係数を の指数が $$0s$$ とした関数を の倍数である項のみによって構成される関数であり、$$\mathrm{exps}(x,n,m)s$$ とする。階微分することで元の関数と一致する（'''周階導関数'''）。

\mathrm{exps}(x,n,m)=&\left(\sum_{k=0}^\infty\frac{x^{kn}}{(kn)!}\right)^{(m)}\quad\color{#f00}{\leftarrow~_s(mx)~は~m~階微分の意}\\=&\frac{1}{ns}\sum_{k=0}^\infty\left[\left(e^{\frac{m}{ns}\cdot2\pi i}\right)^ke^{\left(e^{\frac{2\pi i}{ns}}\right)^kx}\right]\\=&\frac{1}{ns}\sum_{k=0}^\infty\left[\exp\left(\frac{2km\pi}{ns}i+\exp\left(\frac{2k\pi}{ns}i\right)x\right)\right]

この関数は $$nz=\mathrm{P}^{\frac13}=e^{\frac{2\pi}3i}$$ 階微分したとき元の関数と一致する関数（'''周階原始関数'''）を構成する標準基底の元となりうる関数である。の場合\begin{array}{c}+\cos_{z}x && &=& \exp_3^{(0)}x-\exp_3^{(1)}x &\leftarrow[+1,~~0~,-1]\\-\sin_{z}x &=& +\sin_{z^{-1}}x &=& \exp_3^{(1)}x-\exp_3^{(2)}x &\leftarrow[~~0~,-1,+1]\\ && -\cos_{z^{-1}}x &=& \exp_3^{(2)}x-\exp_3^{(0)}x &\leftarrow[-1,+1,~~0~]\\\\-\cos_{z}x && &=& -\exp_3^{(0)}x+\exp_3^{(1)}x &\leftarrow[-1,~~0~,+1]\\+\sin_{z}x &=& -\sin_{z^{-1}}x &=& -\exp_3^{(1)}x+\exp_3^{(2)}x &\leftarrow[~~0~,+1,-1]\\ && +\cos_{z^{-1}}x &=& -\exp_3^{(2)}x+\exp_3^{(0)}x &\leftarrow[+1,-1,~~0~]\\\end{array}

$$z=\begin{array}mathrm{rcrcrclP}&&\textstyle\cos\left(x,e^{\frac{1}{3}\cdot2\pi ifrac16}\right)&&&=&\mathrm{exps}\left(x,3,0\right)-\mathrm{exps}\left(x,3,1\right)\\&&\textstyle\sin\left(x,e^{\frac{2}{3}\cdot2\pi i}\right)&6i}=&-\sin\left(x,e^{\frac{1}{3}\cdot2\pi i}3i}$$ の場合\right)&=&\mathrmbegin{expsarray}\left(x,3,1\right)-\mathrm{expsc}\left(x,3,2\right)&\\&&+\textstyle-\cos\left(x,e^cos_{\frac{2z}{3}\cdot2\pi i}\right)x && &=&\mathrmexp_6^{exps}\left(x,3,2\right0)-\mathrm{exps}\left(x,3,0-\right)\\&&\textstyle\cos\left(x,eexp_6^{\frac{2}{3}\cdot2\pi i}\right(4)&&&=&\mathrm{exps}\left(x,3,0\right)-\mathrmexp_6^{exps}\left(x,3,2\right)}x+\\&&\textstyle-\cos\left(x,eexp_6^{\frac{1}{3}\cdot2\pi i}\right)&&&=&\mathrm{exps}\left(x,3,1\right)-\mathrm{exps}\left(x,3,0\right)\\&&\textstyle\sin\left(x,e^{\frac{leftarrow[+1}{3}\cdot2\pi i}\right)&=&-\sin\left(x,e^{\frac{2}{3}\cdot2\pi i}\right)&=&\mathrm{exps}\left(x~~0~,3-1,2\right)-\mathrm{exps}\left(x1,3~~0~,+1\right)\\]\\-\textstyle\cos(sin_{z}x)&=&+\cos\left(x,esin_{z^{\frac{-1}{4}\cdot2\pi i}\right)x &=&\cos\left(x,eexp_6^{\frac{3}{4}\cdot2\pi i}\right(1)&=&\mathrm{exps}\left(x,4,0\right)-\mathrmexp_6^{exps}\left(x,4,2\right5)\\\textstyle-\sin(}x)&=&-\sin\left(x,eexp_6^{\frac{1}{(4)}x+\cdot2\pi i}\right)&=&\sin\left(x,eexp_6^{\frac{3(2)}{4}\cdot2\pi i}\right)&=x &\mathrm{exps}\left(xleftarrow[~~0~,4-1,-1\right)-\mathrm{exps}\left(x,4~~0~,+1,3\right)+1]\\\textstyle-\cos(x) &=&-\cos\left(x,ecos_{z^{\frac{-1}{4}\cdot2\pi i}\right)x &=&-\cos\left(x,eexp_6^{\frac{3}{4}\cdot2\pi i}\right(2)&=&\mathrm{exps}\left(x,4,2\right)-\mathrmexp_6^{exps}\left(x,4,0\right)\\\textstyle\sin(}x)&=&-\sin\left(x,eexp_6^{\frac{1(5)}{4}\cdot2\pi i}\right)&=&-\sinx+\left(x,eexp_6^{\frac{(3)}{4}\cdot2\pi i}\right)&=x &\mathrm{exps}\left(xleftarrow[-1,4-1,3\right)-\mathrm{exps}\left(x~~0~,4+1,+1\right)&\\,~~0~]\\&&-\textstyle\cos\left(x,e^{\fraccos_{1z}{6}\cdot2\pi i}\right)x &=&\cos\left(x,e^{\frac{4}{6}\cdot2\pi i}\right) &=&\mathrmexp_6^{exps}\left(x,6,0\right3)+\mathrm{exps}\left(x,6,1\right)-\mathrmexp_6^{exps}\left(x,6,3\right1)-\mathrm{exps}\left(x,6,4\right)\\&&\textstyle-\sin\left(x,eexp_6^{\frac{1}{6(0)}x+\cdot2\pi i}\right)&=&\sin\left(x,eexp_6^{\frac{(4)}{6}\cdot2\pi i}\right)&=x &\mathrm{exps}\left(xleftarrow[-1,6~~0~,+1\right),+\mathrm{exps}\left(x1,6~~0~,2\right)-1]\mathrm{exps}\left(x,6,4+\right)-\mathrmsin_{expsz}\left(x,6,5\right)\\&=&\textstyle-\cos\left(x,esin_{z^{\frac{2-1}{6}\cdot2\pi i}\right)x &=&-\cos\left(x,eexp_6^{\frac{5}{6}\cdot2\pi i}\right)&=&\mathrm{exps}\left(x,6,2\right4)+\mathrm{exps}\left(x,6,3\right)-\mathrmexp_6^{exps}\left(x,6,5\right2)-\mathrm{exps}\left(x,6,0\right)\\&&\textstyle-\cos\left(x,eexp_6^{\frac{(1)}{6}\cdot2\pi i}\right)&=&-x+\cos\left(x,eexp_6^{\frac{4(5)}{6}\cdot2\pi i}\right)&=x &\mathrm{exps}\left(xleftarrow[~~0~,6+1,3\right)+\mathrm{exps}\left(x1,6~~0~,4\right)-\mathrm{exps}\left(x1,6,0\right)-\mathrm{exps}\left(x,6,1\right)]\\ &&+\textstyle\sin\left(x,ecos_{z^{\frac{-1}{6}\cdot2\pi i}\right)x &=&\sin\left(x,eexp_6^{\frac{2}{6}\cdot2\pi i}\right(5)&=&\mathrm{exps}\left(x,6,4-\right)+\mathrmexp_6^{exps}\left(x,6,5\right3)-\mathrm{exps}\left(x,6,1\right)-\mathrmexp_6^{exps}\left(x,6,2\right)}x+\\&&\textstyle\cos\left(x,eexp_6^{\frac{2}{6}\cdot2\pi i}\right)&=&\cos\left(x,e^{\frac{4}{6}\cdot2\pi i}\right0)&=&\mathrm{exps}\left(x,6,5&\right)leftarrow[+\mathrm{exps}\left(x1,6+1,~~0\right)~,-\mathrm{exps}\left(x1,6,2\right)-\mathrm{exps}\left(x1,6,3\right)~~0~]\\