差分

この座標は[[ガラパゴ累乗定理]]によって

(x+yz)^2=&x^2+y^2(2z\cos(\pi-\theta)-1)+2xyz\\

=&x^2+y^2(-2z\cos\theta-1)+2xyz\\

=&(x^2-y^2)+(2xy-2y^2\cos\theta)z\\

と $$z$$ の一次式の形で表すことができる。

:$$x^2-y^2$$ : $$2xy-2y^2\cos\theta$$ ： $$|x+yz|^2$$

であるが、$$z=e^{i(\pi-\theta)}=\cos(\pi-\theta)+i\sin(\pi-\theta)$$ であるため

|x+yz|=&\big|[x+y\cos(\pi-\theta)]+[y\sin(\pi-\theta)]i\big|\\

=&\sqrt{[x+y\cos(\pi-\theta)]^2+[y\sin(\pi-\theta)]^2}\\

=&\sqrt{x^2+y^2(\cos^2\theta+\sin^2\theta)-2xy\cos\theta}\\

=&\sqrt{x^2+y^2-2xy\cos\theta}

によって

:$$x^2-y^2$$ : $$2xy-2y^2\cos\theta$$ ： $$x^2+y^2-2xy\cos\theta$$

==三辺比恒等式==

ガラパゴ三辺比定理で示される三角形の三辺比より、以下の恒等式を導くことができる。

&(x^2+y^2-2xy\cos\theta)^2\\

=&\big[(x^2-y^2)+(2xy-2y^2\cos\theta)e^{\pi-\theta}\big|^2\\

=&(x^2-y^2)^2+(2xy-2y^2\cos\theta)^2-2(x^2-y^2)(2xy-2y^2\cos\theta)\cos\theta

==ガラパゴス数（拡張ピタゴラス数）==