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集合論
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また高校数学では、集合論の基礎的な一部とその前提知識として要求される論理がカリキュラムとして数学Aに導入されている。
==前史数学史的な経緯とその後==冒頭で触れたように、集合論という分野はカントールによって創始された。カントールはフーリエ級数に関する論文「三角級数論の一定理の拡張について」===三角級数論の解決としての集合の導入===冒頭で触れたように、集合論という分野はカントールによって創始された。カントールは論文「三角級数の一定理の拡張について」(1872)などで現在の集合論に至るための骨子となる概念を導入した。 その後、カントールは「超限集合論の基礎についての寄与」(1895)で集合を次のように定義した。::'''集合とは、確定的で、十分に区別される、われわれの直観または思考の対象$$m$$を一つの全体にまとめて把握したものである。'''(ここで対象は$$M$$の元と名付けられる。) ===パラドックスの発生とその解決===このようにしてカントールによって構成されていった一般集合論は、イタリアの数学者ブライリー・フォルティ(1861 ~ 1931)によってある論理的パラドックスが存在していることが指摘された。このパラドックスはフォルティの友人であるイギリスの数学者バートランド・ラッセル(1872~ 1970)によって次のように定式化された。::いま自然数$$N$$をとってみる。$$N$$の元は$$0,1,2, \cdots $$のように自然数からできている。したがって$$N$$自身は$$N$$の元になっていない。つまり自分自身を元として持っていない集合は存在する。したがって$$X \notin X$$となる集合$$X$$が必ず存在する。$$X \notin X$$となるような集合$$X$$を全部集める。::カントールの定義によるとこれは可能で、集めたものはまた一つの集合を作る。::このとき、この集合を$$A$$としたとき、次のようなパラドックスが生じる。::(1)$$A$$は集合である。::(2)この$$A$$に対して、$$A \notin A$$か$$A \in A$$のいずれか一方が必ず成り立つ。::(3)$$A\notin A$$と仮定する。このとき、$$A \in \{X | X \notin X\}$$となるが、$$A = \{X | X \notin X\}$$としたことから、$$A \in A$$となってしまい矛盾する。::(4)$$A \in A$$と仮定する。このとき、$$A \notin \{X | X \notin X \}$$と なるがことから、$$A \notin A$$となってしまい、矛盾する。::(5)このことから、パラドックスが生じた。これは一般的に'''ラッセルのパラドックス'''と呼ばれ、このパラドックスを解消するための措置として 、ドイツの数学者エルンスト・ツェルメロ(1871 ~ 1953)と、イスラエルの数学者アドルフ・フレンケル(1891 ~ 1965)によって公理的集合論(ZF体型)のなかで現在の集合論に至る基礎的な概念を登場させた。として改良されていった。
==集合==
'''集合'''(set)とは「ものの集まり」を意味している。この集められる対象となる「もの」を集合の要素あるいは単に'''元'''(element)という。(以下、元で統一する。)
さらに、始域$$A$$から終域$$B$$への上への一対一写像のとき、つまり全射かつ単射であるような関係を'''全単射'''と呼ぶ。
$$f: A \rightarrow A$$が$$f(a) = a, (a \in A)$$を満たすとき、これを'''恒等写像'''といい、$$i_a$$と表す。
==直積とべき集合==
2つの空ではない集合$$A, B$$に対して、
$$A \times B \equiv \{ (a, b) | a \in A, b \in B\}$$
を$$A$$と$$B$$の'''直積集合'''という。このときの元$$(a,b)$$を'''順序対'''という。
集合族$$\{X_\alpha; \alpha \in J\}$$を考える。 各$$\alpha \in J$$にある