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集合論
,編集の要約なし
::Je le vois, mais je ne le crois pas
::(「私にはそれが見えるが、しかし信じることができない」)
:: --G.カントール：R.デデキントとの書簡より
集合論とは、集合を中心に扱う数学の分野で、19世紀後半のドイツの数学者ゲオルク・カントール(1845 ~ 1918)によって創始され、その後の現代の数学分野に大きな影響を及ぼした。
また高校数学では、集合論の基礎的な一部とその前提知識として要求される論理がカリキュラムとして数学Aに導入されている。
==前史==
冒頭で触れたように、集合論という分野はカントールによって創始された。カントールはフーリエ級数に関する論文「三角級数論の一定理の拡張について」(1872)のなかで現在の集合論に至る基礎的な概念を登場させた。
==集合==
'''集合'''(set)とは「ものの集まり」を意味している。この集められる対象となる「もの」を集合の要素あるいは単に'''元'''(element)という。(以下、元で統一する。)
写像$$f: A\rightarrow B$$を考える。
このとき、始域となる集合$$A$$と終域の集合$$B$$の元が一致するときのことをの元が一致するときの関係を'''全射'''という。 また全射となる条件は次のようにも表される。という。またこれを'''上への写像'''とも呼ぶ。
一方で、始域$$A$$の元が終域$$B$$の元と一対一で対応しているような関係を'''単射'''という。またこれを'''一対一写像'''とも呼ぶ。
さらに、始域$$A$$から終域$$\forall b \in B \exists a \in A(f(a) = a) $$への上への一対一写像のとき、つまり全射かつ単射であるような関係を'''全単射'''と呼ぶ。
