ガラパゴ数学(がらぱごすうがく、Galapagothmetic）とは、多様体型オブジェクト上の大きさ（量）や位置（座標）を数と捉える数学の思考体系（視点）である。
目次
はじめに
ガラパゴ数学は、創始者である みゆ が「数とはなにか」「演算とはなにか」という数学の根幹・本質を追求したことによって生み出された。扱う対象が数理である以上、そこから得られる結果が既存の数学と異なるわけではないが、ガラパゴ数学の特徴は独自の視点による見通しの良さにあり、幾何・線形代数・整数論・群論といった数学の各分野をシームレスにしている。
特定の学問分野にカテゴライズされるようなものではなく、数理を扱う上での考え方（視点）を得ることがガラパゴ数学の主題である。概念を伝達する便宜上、既存の数学表現や日常用語あるいは図示などを用いた翻訳によって説明されるが、数式や用語などを定義したり表現方法を定めたりすることは本来は範疇ではない。
ガラパゴ数学という名は、「隔離空間で独自に進化した数学」という意味で ガラパゴス（諸島）+ 数学 より命名された。英語表記の Galapagothmetic は Galapagoth + Arithmetic を語源とし、数学（mathematics）の中でもとりわけ数の概念や演算の論理的手続きを明らかにするという意味合いで算術（arithmetic）の語が用いられている。
ガラパゴ数学は既存の数学とは異なる思考体系を持つことに注意されたい。
数
ガラパゴ数学では、大きさや位置といった概念を適用可能なオブジェクト（数直線や複素平面、線形空間など多様体または多様体の一部とみなして扱うことができる概念）上における「大きさ」や「位置」またはそれらにラベリングされる名前の総称を数と定義する。ここでいう大きさとはオブジェクト上に想定可能かつ方向性や形状などを有する１次元（１階）以上の情報、位置とはオブジェクト上の特定の場所を指し示す無次元（０階）の情報であり、大きさに対してラベリングされる（された）名前を 量、位置に対してラベリングされる（された）名前を 座標 と呼ぶ。また、階数を落とした視点を想定することで大きさを広義の意味での位置情報とみなすことも可能であり、その場合の量も広義の意味で座標と呼ぶ。
座標系
オブジェクトに対して何らかのルールを定めて各座標をラベリングしたとき、それらの座標の集合を 座標系と呼ぶ。 ガラパゴ数学において主として扱われる座標系は以下のルールをベースとする。
- オブジェクト上の任意の大きさに対して $$\mathrm{P}$$ とラベリングし、これを基準量(基底)とする。
- オブジェクト上の任意の位置に対して $$\mathrm{0}$$ とラベリングし、これを基準座標(原点)とする。
- 同一のオブジェクト上に定められた基準 $$\mathrm{P}$$ と $$\mathrm{0}$$ によってそのオブジェクトの座標系を一意に定める。
標準座標系
標準座標系とは、$$\mathrm{P}$$ の大きさが１次元（$$\mathrm{P}$$ が１階のテンソルを用いて表現可能）の場合の座標系である。具体例としては、実数や複素数など多元数範囲で表現可能なユークリッド座標系が挙げられる。
- $$\mathrm{P}$$ の大きさ(絶対値)を 1 とする。
- $$\mathrm{P}$$ の方向性(符号あるいは偏角)を + とする。
- $$\mathrm{P}$$ を位置ベクトル、$$\mathrm{0}$$ をその起点とみなしたときの終点の位置に +1 とラベリングする。
混同の恐れがない限り、座標の +1 は単に 1 と略すことができる。
| ラベリング | 基準 | |
|---|---|---|
| 大きさ情報 | 量 | 基底 $$\mathrm{P}$$（標準座標系：$$\mathrm{1}$$） |
| 位置情報 | 座標 | 原点 $$\mathrm{0}$$（標準座標系：$$\mathrm{0}$$） |
演算
基準量(基底) $$\mathrm{P}$$ と 基準座標(原点) $$\mathrm{0}$$ の両者が一意に定まると座標系も一意に定まり、どちらか一方でも異なれば座標系も異なる。このことは、同一のオブジェクト上に異なる複数の座標系を想定可能であることを意味している。そのような異なる座標系においてそれぞれの座標を相互に変換（翻訳あるいは新規ラベリング）するプロセスを 演算 と呼ぶ。
| 基準座標(原点) $$\mathrm{0}$$ が同一の座標系 | 基準座標(原点) $$\mathrm{0}$$ が異なる座標系 | |
|---|---|---|
| 基準量(基底) $$\mathrm{P}$$ が同一の座標系 | 無変換 | 座標変換 |
| 基準量(基底) $$\mathrm{P}$$ が異なる座標系 | 量変換 | 複合変換 |
座標変換
「基準量(基底) $$\mathrm{P}$$ が同一で、基準座標(原点) $$\mathrm{0}$$ の異なる座標系 A と B に対する座標変換」に該当する主な演算は加減算であり、以下の２つに分類される。
加算（足し算）
- A における 座標 a が B における 基準座標(原点) $$\mathrm{0}$$ に一致するとき、B における 座標 b は A における 座標 a＋b
基準量 座標変換（座標翻訳） 座標系 A $$\mathrm{P}$$ a a＋b 座標系 B $$\mathrm{0}$$ b
減算（引き算）
- A における 座標 a が B における 座標 b に一致するとき、B における 基準座標(原点) $$\mathrm{0}$$ は A における 座標 a－b
基準量 座標変換（座標翻訳） 座標系 A $$\mathrm{P}$$ a a－b 座標系 B b $$\mathrm{0}$$
量変換
「基準座標(原点) $$\mathrm{0}$$ が同一で、基準量(基底) $$\mathrm{P}$$ の異なる座標系 A と B に対する量変換」に該当する主な演算は乗除算であり、以下の２つに分類される。
乗算（掛け算）
- A における 量 a が B における 基準量(基底) $$\mathrm{P}$$ に一致するとき、B における 量 b は A における 量 a×b
基準座標 量変換（量翻訳） 座標系 A $$\mathrm{0}$$ a a×b 座標系 B $$\mathrm{P}$$ b
除算（割り算）
- A における 量 a が B における 量 b に一致するとき、B における 基準量(基底) $$\mathrm{P}$$ は A における 量 a÷b
基準座標 量変換（量翻訳） 座標系 A $$\mathrm{0}$$ a a÷b 座標系 B b $$\mathrm{P}$$
加減算と乗除算を合わせて四則演算と呼び、それらは次のような対称性を持つ。
| 演算 | 座標系 A と B の関係 | 変換対象 | 一致条件 | 変換（翻訳） | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 同 | 異 | 座標系 A | 座標系 B | 座標系 B | 座標系 A | ||||
| 加算（足し算） | 基準量 $$\mathrm{P}$$ | 基準座標 $$\mathrm{0}$$ | 座標 | 座標 a | = | 基準座標 $$\mathrm{0}$$ | 座標 b | → | a＋b |
| 減算（引き算） | 座標 b | 基準座標 $$\mathrm{0}$$ | a－b | ||||||
| 乗算（掛け算） | 基準座標 $$\mathrm{0}$$ | 基準量 $$\mathrm{P}$$ | 量 | 量 a | = | 基準量 $$\mathrm{P}$$ | 量 b | → | a×b |
| 除算（割り算） | 量 b | 基準量 $$\mathrm{P}$$ | a÷b | ||||||
既存の数学による説明
ガラパゴ数学における演算の概念を既存の数学用語で表現するならば、対称性を用いて図形を同一視する手法であると説明することができる。
例えば、加減算は直線の並進対称性である。「直線をどれだけ動かすか」を1つ指定しこれを a とすると、これは既存の数学では直線の持つ対称性の1つとなる。ガラパゴ数学では動かす前と後の直線を f(x)=a+x という関係性で同一視し、これを足し算とみなす。