ガラパゴ三角関数

ガラパゴ三角関数（ガラパゴさんかくかんすう）とは、$$+1$$ と $$z=e^{i\theta}$$ を理論上の基底の元（$$z$$ が実数であっても独立した元であるものとみなして区別）とする斜交座標系において、関数 $$f(x)=e^{xz}$$ が示す座標の実部と $$z$$ 部を得る関数である。

実部を得る関数（$$N\in\mathbb{Z}$$）

$$\cos(x,\frac{\theta}{2\pi})=\begin{cases} e^x&(\theta=2N\pi)\\ \cosh x&(\theta=(2N+1)\pi)\\ \displaystyle e^{x\cos\theta}\cos(x\sin\theta)-\frac{e^{x\cos\theta}\sin(x\sin\theta)}{\tan\theta}&(\theta\ne N\pi) \end{cases}$$

$$z$$ 部を得る関数（$$N\in\mathbb{ Z}$$）

$$\sin(x,\frac{\theta}{2\pi})=\begin{cases}0&(\theta=2N\pi)\\ \sinh x&(\theta=(2N+1)\pi)\\ \displaystyle \frac{e^{x\cos\theta}\sin(x\sin\theta)}{\sin\theta}&(\theta\ne N\pi) \end{cases}$$

関係式

$$e^{xz}=\cos(x,\frac{\theta}{2\pi})+z\sin(x,\frac{\theta}{2\pi})$$

$$e^{xz}=e^{xe^{i\theta}}=e^{x(\cos\theta+i\sin\theta)}=e^{x\cos\theta}\cdot e^{ix\sin\theta}$$ より、この関数の示す値は

偏角： $$\arg(e^{xz})=x\sin\theta~(\mathrm{rad})$$

絶対値： $$|e^{xz}|=e^{x\cos\theta}$$

である。

導出

$$+1$$ と $$z=e^{i\theta}$$ を（理論上の）基底の元とする斜交座標形式の複素数平面において、関数 $$f(x)=e^{xz}$$ を想定する。

$$\frac{\theta}{2\pi}$$ が有理数 $$\frac{m}{n}$$ の場合

$$z=e^{\frac{m}{n}\cdot2\pi i}$$ のマクローリン展開より \begin{align} e^{xz} =&\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{k!}z^k\\ =&\sum_{p=0}^{n-1}\sum_{r=0}^{\infty}\frac{x^{nr+p}}{(nr+p)!}z^{nr+p}\quad\color{#f00}{\leftarrow~k=nr+p}\\ =&\underbrace{\sum_{r=0}^{\infty}\frac{x^{nr}}{(nr)!}z^{nr}}_{\color{#f00}{p=0}}+\underbrace{\sum_{r=0}^{\infty}\frac{x^{nr+1}}{(nr+1)!}z^{nr+1}}_{\color{#f00}{p=1}}+\underbrace{\sum_{p=2}^{n-1}\sum_{r=0}^{\infty}\frac{x^{nr+p}}{(nr+p)!}z^{nr+p}}_{\color{#f00}{p\geqq2}}\\ =&\sum_{r=0}^{\infty}\frac{x^{nr}}{(nr)!}+\sum_{r=0}^{\infty}\frac{x^{nr+1}}{(nr+1)!}z^m+\sum_{p=2}^{n-1}\sum_{r=0}^{\infty}\frac{x^{nr+p}}{(nr+p)!}(z^m)^p\end{align} ガラパゴ累乗定理により $$(z^m)^p$$ を 実成分と $$z^m$$ 成分に分離

$$\displaystyle\cos\left(x,\frac{m}{n}\right)=\sum_{r=0}^{\infty}\frac{x^{nr}}{(nr)!}-\sum_{p=2}^{n-1}\sum_{r=0}^{\infty}\frac{x^{nr+p}}{(nr+p)!}\left[\sum_{k=0}^{\lfloor (p-2)/2\rfloor}\binom{p-k-2}{k}(-1)^k\left(2\cos\left(m\theta\right)\right)^{p-2k-2}\right]$$

$$\displaystyle\sin\left(x,\frac{m}{n}\right)=\sum_{p=1}^{n-1}\sum_{r=0}^{\infty}\frac{x^{nr+p}}{(nr+p)!}\left[\sum_{k=0}^{\lfloor (p-1)/2\rfloor}\binom{p-k-1}{k}(-1)^k\left(2\cos\left(m\theta\right)\right)^{p-2k-1}\right]$$

$$\frac{m}{n}=\frac{1}{1}$$ のとき

$$\displaystyle\cos\left(x,\frac{1}{1}\right)=\sum_{r=0}^{\infty}\frac{x^{r}}{r!}=e^x$$

$$\displaystyle\sin\left(x,\frac{1}{1}\right)=0$$

$$\frac{m}{n}=\pm\frac{1}{2}$$ のとき

$$\displaystyle\cos\left(x,\pm\frac{1}{2}\right)=\sum_{r=0}^{\infty}\frac{x^{2r}}{(2r)!}=\cosh x$$

$$\displaystyle\sin\left(x,\pm\frac{1}{2}\right)=\sum_{r=0}^{\infty}\frac{x^{2r+1}}{(2r+1)!}=\sinh x$$

$$\frac{m}{n}=\pm\frac{1}{3}$$ のとき（$$2\cos\theta=-1$$）

$$\displaystyle\cos\left(x,\pm\frac{1}{3}\right)=\sum_{r=0}^{\infty}\frac{x^{3r}}{(3r)!}-\sum_{r=0}^{\infty}\frac{x^{3r+2}}{(3r+2)!}$$

$$\displaystyle\sin\left(x,\pm\frac{1}{3}\right)=\sum_{r=0}^{\infty}\frac{x^{3r+1}}{(3r+1)!}-\sum_{r=0}^{\infty}\frac{x^{3r+2}}{(3r+2)!}$$

$$\frac{m}{n}=\pm\frac{1}{4}$$ のとき（$$2\cos\theta=0$$）

$$\displaystyle\cos\left(x,\pm\frac{1}{4}\right)=\sum_{r=0}^{\infty}\frac{x^{4r}}{(4r)!}-\sum_{r=0}^{\infty}\frac{x^{4r+2}}{(4r+2)!}=\cos x$$

$$\displaystyle\sin\left(x,\pm\frac{1}{4}\right)=\sum_{r=0}^{\infty}\frac{x^{4r+1}}{(4r+1)!}-\sum_{r=0}^{\infty}\frac{x^{4r+3}}{(4r+3)!}=\sin x$$

$$\sin\theta\ne0$$ の場合（$$\frac{\theta}{2\pi}$$ が無理数の場合も含む）

$$e^{xz}=\cos\left(x,\frac{\theta}{2\pi}\right)+z\sin\left(x,\frac{\theta}{2\pi}\right)$$ の両辺を直交座標形式に変換

左辺 \begin{align} e^{xz}=&e^{xe^{i\theta}}\\ =&e^{x(\cos\theta+i\sin\theta)}\\ =&e^{x\cos\theta}\cdot e^{ix\sin\theta}\\ =&e^{x\cos\theta}[\cos(x\sin\theta)+i\sin(x\sin\theta)]\\ =&e^{x\cos\theta}\cos(x\sin\theta)+ie^{x\cos\theta}\sin(x\sin\theta) \end{align}

右辺 \begin{align} &\textstyle\cos\left(x,\frac{\theta}{2\pi}\right)+z\sin\left(x,\frac{\theta}{2\pi}\right)\\ =&\textstyle\cos\left(x,\frac{\theta}{2\pi}\right)+(\cos\theta+i\sin\theta)\sin\left(x,\frac{\theta}{2\pi}\right)\\ =&\textstyle\left[\cos\left(x,\frac{\theta}{2\pi}\right)+\cos\theta\sin\left(x,\frac{\theta}{2\pi}\right)\right]+i\sin\theta\sin\left(x,\frac{\theta}{2\pi}\right) \end{align}

$$\sin\theta\ne0$$ であることから両辺の実部と虚部を比較して

$$\cos(x,\frac{\theta}{2\pi})=\displaystyle e^{x\cos\theta}\cos(x\sin\theta)-\frac{e^{x\cos\theta}\sin(x\sin\theta)}{\tan\theta}$$

$$\sin(x,\frac{\theta}{2\pi})=\displaystyle \frac{e^{x\cos\theta}\sin(x\sin\theta)}{\sin\theta}$$

exps関数を用いた表現

$$\exp$$ 関数をマクローリン展開した各項より、$$x$$ の指数が [$$n$$ の倍数－$$m$$] 以外の係数を $$0$$ とした関数を $$\mathrm{exps}(x,n,m)$$ とする。

\begin{align} \mathrm{exps}(x,n,m) =&\left(\sum_{k=0}^\infty\frac{x^{kn}}{(kn)!}\right)^{(m)}\quad\color{#f00}{\leftarrow~(m)~は~m~階微分の意}\\ =&\frac{1}{n}\sum_{k=0}^\infty\left(\left(e^{\frac{m}{n}\cdot2\pi i}\right)^ke^{\left(e^{\frac{2\pi i}{n}}\right)^kx}\right)\\ =&\frac{1}{n}\sum_{k=0}^\infty\left(\exp\left(\frac{2km\pi}{n}i+\exp\left(\frac{2k\pi}{n}i\right)x\right)\right) \end{align}

この関数を用いると、次のように示すことができる。

\begin{array}{rcrcrcl} \textstyle\exp(x)&=&\cos\left(x,\frac{1}{1}\right)&&&=&\mathrm{exps}\left(x,1,0\right)\\\\ \textstyle\cosh(x)&=&\cos\left(x,\frac{1}{2}\right)&&&=&\mathrm{exps}\left(x,2,0\right)\\ \textstyle\sinh(x)&=&\sin\left(x,\frac{1}{2}\right)&&&=&\mathrm{exps}\left(x,2,1\right)\\\\ &&\textstyle\cos\left(x,\frac{1}{3}\right)&&&=&\mathrm{exps}\left(x,3,0\right)-\left(x,3,1\right)\\ &&\textstyle\sin\left(x,\frac{2}{3}\right)&=&-\sin\left(x,\frac{1}{3}\right)&=&\mathrm{exps}\left(x,3,1\right)-\left(x,3,2\right)&\\ &&\textstyle-\cos\left(x,\frac{2}{3}\right)&&&=&\mathrm{exps}\left(x,3,2\right)-\left(x,3,0\right)\\ &&\textstyle\cos\left(x,\frac{2}{3}\right)&&&=&\mathrm{exps}\left(x,3,0\right)-\left(x,3,2\right)\\ &&\textstyle-\cos\left(x,\frac{1}{3}\right)&&&=&\mathrm{exps}\left(x,3,1\right)-\left(x,3,0\right)\\ &&\textstyle\sin\left(x,\frac{1}{3}\right)&=&-\sin\left(x,\frac{2}{3}\right)&=&\mathrm{exps}\left(x,3,2\right)-\left(x,3,1\right)\\\\ \textstyle\cos(x)&=&\cos\left(x,\frac{1}{4}\right)&=&\cos\left(x,\frac{3}{4}\right)&=&\mathrm{exps}\left(x,4,0\right)-\left(x,4,2\right)\\ \textstyle-\sin(x)&=&-\sin\left(x,\frac{1}{4}\right)&=&\sin\left(x,\frac{3}{4}\right)&=&\mathrm{exps}\left(x,4,1\right)-\left(x,4,3\right)\\ \textstyle-\cos(x)&=&-\cos\left(x,\frac{1}{4}\right)&=&-\cos\left(x,\frac{3}{4}\right)&=&\mathrm{exps}\left(x,4,2\right)-\left(x,4,0\right)\\ \textstyle\sin(x)&=&\sin\left(x,\frac{1}{4}\right)&=&-\sin\left(x,\frac{3}{4}\right)&=&\mathrm{exps}\left(x,4,3\right)-\left(x,4,1\right)&\\\\ &&\textstyle\cos\left(x,\frac{1}{6}\right)&=&\cos\left(x,\frac{4}{6}\right)&=&\mathrm{exps}\left(x,6,0\right)+\left(x,6,1\right)-\left(x,6,3\right)-\left(x,6,4\right)\\ &&\textstyle-\sin\left(x,\frac{1}{6}\right)&=&\sin\left(x,\frac{4}{6}\right)&=&\mathrm{exps}\left(x,6,1\right)+\left(x,6,2\right)-\left(x,6,4\right)-\left(x,6,5\right)\\ &&\textstyle-\cos\left(x,\frac{2}{6}\right)&=&-\cos\left(x,\frac{5}{6}\right)&=&\mathrm{exps}\left(x,6,2\right)+\left(x,6,3\right)-\left(x,6,5\right)-\left(x,6,0\right)\\ &&\textstyle-\cos\left(x,\frac{1}{6}\right)&=&-\cos\left(x,\frac{4}{6}\right)&=&\mathrm{exps}\left(x,6,3\right)+\left(x,6,4\right)-\left(x,6,0\right)-\left(x,6,1\right)\\ &&\textstyle\sin\left(x,\frac{1}{6}\right)&=&\sin\left(x,\frac{2}{6}\right)&=&\mathrm{exps}\left(x,6,4\right)+\left(x,6,5\right)-\left(x,6,1\right)-\left(x,6,2\right)\\ &&\textstyle\cos\left(x,\frac{2}{6}\right)&=&\cos\left(x,\frac{4}{6}\right)&=&\mathrm{exps}\left(x,6,5\right)+\left(x,6,0\right)-\left(x,6,2\right)-\left(x,6,3\right)\\ \end{array}