ガラパゴ数列

ガラパゴ数列（ガラパゴ数列）とは、互いに複素共役な二つの複素数 $$z$$ と $$\overline{z}$$ の和と積を係数とする三項間漸化式により生成される実数列である。

斜交座標系における幾何学的な性質を簡潔に表現することを主目的として みゆ によって導出された。

概要

複素数 $$z$$ とその複素共役 $$\overline{z}$$ の和と積を係数とする三項間漸化式を次のように定める。

$$\begin{cases} G_0=0\\ G_1=1\\ G_n=(z+\overline{z})G_{n-1}-(z\cdotp\overline{z})G_{n-2} \end{cases}$$ または $$\begin{pmatrix}G_{n+1}\\G_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}z+\overline{z}&-z\cdotp\overline{z}\\1&0\end{pmatrix}^n\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$$

この数列の一般項 $$G_n$$ のなす数列をガラパゴ数列という。

$$\displaystyle G_n=\displaystyle\frac{z^n-\overline{z}^{~n}}{z-\overline{z}}=\sum_{k=0}^{n-1}\overline{z}^{~k}\cdot z^{n-k-1}$$

$$G_n$$ の具体値は $$z$$ によって異なるため、$$z$$ が具体値をとる場合にはその値を生成元として明示する必要がある。

特に $$|z|=1$$ のとき、$$\begin{cases}z\cdotp\overline{z}=1\\z+\overline{z}=2\cos\left(\mathrm{Arg}~z\right)\\\end{cases}$$ であることから、

$$\displaystyle G_n=\sum_{k=0}^{n-1}z^{n-2k+1}=\frac{\sin\left(n~\mathrm{Arg}~z\right)}{\sin\left(\mathrm{Arg}~z\right)}$$

と表せる。

導出

三項間漸化式

$$\begin{cases} G_0=0\\ G_1=1\\ G_{n+2}=(z+\overline{z})G_{n+1}-(z\cdotp\overline{z})G_{n} \end{cases}$$

を特性方程式 $$x^2-(z+\overline{z})x+(z\cdotp\overline{z})=0$$ の解 $$z$$ と $$\overline{z}$$ より

次のように連立させる。

$$\begin{cases} G_{n+2}-\overline{z}G_{n+1}=z(G_{n+1}-\overline{z}G_n)&\cdots~(1)\\ G_{n+2}-zG_{n+1}=\overline{z}(G_{n+1}-zG_n)&\cdots~(2)\\ \end{cases}$$ より

$$\begin{cases} G_{n+1}-\overline{z}G_n=z^n(G_1-\overline{z}G_0)=z^n&\cdots~(1)'\\ G_{n+1}-zG_n=\overline{z}^{~n}(G_1-zG_0)=\overline{z}^{~n}&\cdots~(2)'\\ \end{cases}$$

$$(1)'$$ の両辺より $$(2)'$$ の両辺をそれぞれ引いて

$$\begin{align*} (z-\overline{z})G_n=&(z^n-\overline{z}^{~n})\\\\ \therefore~G_n=&\displaystyle\frac{z^n-\overline{z}^{~n}}{z-\overline{z}}=\sum_{k=0}^{n-1}\overline{z}^{~k}\cdot z^{n-k-1} \end{align*}$$

また、$$|z|=1$$ のとき $$|z^n|=|\overline{z}^{~n}|=1^n=1$$ であるため、

$$\begin{align*} z^n=&\sin\left(n~\mathrm{Arg}~z^n\right)+i\sin\left(n~\mathrm{Arg}~z^n\right)\\ \overline{z}^{~n}=&\sin\left(n~\mathrm{Arg}~z^n\right)-i\sin\left(n~\mathrm{Arg}~z^n\right)\\ z^n-\overline{z}^{~n}=&2i\sin\left(n~\mathrm{Arg}~z^n\right) \end{align*}$$

といえる。従って

$$G_n=\displaystyle\frac{z^n-\overline{z}^{~n}}{z-\overline{z}}=\frac{2i\sin\left(n~\mathrm{Arg}~z^n\right)}{2i\sin\left(\mathrm{Arg}~z\right)}=\frac{\sin\left(n~\mathrm{Arg}~z^n\right)}{\sin\left(\mathrm{Arg}~z\right)}$$

が導かれる。

性質

ガラパゴ累乗定理の係数列

ガラパゴ累乗定理 とは、複素数 $$z$$ の累乗は $$z+\overline{z}$$ と $$z\cdot\overline{z}$$ を元とする多項式より生成される実数を係数とする $$z$$ の一次式で表せるという定理であり、$$z$$ を生成元とするガラパゴ数列 $$G_n$$ を用いて次のように表すことができる。

$$\begin{align*}z^n=G_nz-(z\cdotp\overline{z})G_{n-1}\end{align*}$$

この一次式の係数列を $$C_n=-(z\cdotp\overline{z})G_{n-1}$$、$$S_n=G_n$$ と表すならば、それぞれの数列は次の行列の積としても表現できる。

$$\begin{align*} \begin{pmatrix}C_n&C_{n+1}\\S_n&S_{n+1}\end{pmatrix} =&\begin{pmatrix}0&-z\cdotp\overline{z}\\1&z+\overline{z}\end{pmatrix}^n\\ =&\displaystyle\frac{1}{z-\overline{z}}\begin{pmatrix}-\overline{z}&-z\\1&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}z^n&0\\0&\overline{z}^{~n}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&z\\-1&-\overline{z}\end{pmatrix}\\ =&\displaystyle\frac{1}{z-\overline{z}}\begin{pmatrix}-(z\cdotp\overline{z})(z^{n-1}-\overline{z}^{~n-1})&-(z\cdotp\overline{z})(z^n-\overline{z}^{~n})\\z^n-\overline{z}^{~n}&z^{n+1}-\overline{z}^{~n+1}\end{pmatrix} \end{align*}$$

この行列は、$$1$$ と $$z$$ を基底の元とする空間において $$z$$ と $$z^2=z\cdot(-\overline{z}+z+\overline{z})=-(z\cdot\overline{z})+z(z+\overline{z})$$ すなわち $$\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}$$ と $$\begin{pmatrix}-z\cdot\overline{z}\\z+\overline{z}\end{pmatrix}$$ を新たな基底の元とする空間 $$\begin{pmatrix}0&-z\cdot\overline{z}\\1&z+\overline{z}\end{pmatrix}$$ を累乗することで自己相似空間を作り、結果的に $$\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}$$ すなわち $$z$$ が累乗されていく様を表している。

ガラパゴ三角関数のマクローリン展開係数列

ガラパゴ三角関数 とは、$$+1$$ と $$z=e^{i\theta}$$ を理論上の基底の元（$$z$$ が実数でも $$+1$$ とは独立した元とみなす）とする斜交座標系において、 極座標 $$e^{xz}$$ を基底の元の線形結合で表現したときの各元の係数を得る関数であり、ガラパゴ数列 $$G_n$$ を用いて次のように表すことができる。

$$\begin{align*} \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}nz\right)=e^{xz}=&\sum_{k=0}^\infty\frac{z^k}{k!}x^k=\sum_{k=0}^\infty\frac{G_kz-G_{k-1}}{k!}x^k\\ =&\cos_zx+z\sin_zx=-\sum_{k=0}^\infty\frac{G_{k-1}}{k!}x^k+z\sum_{k=0}^\infty\frac{G_k}{k!}x^k \end{align*}$$

特に $$z=i$$ であるとき、上式はオイラーの公式に一致する。この場合のガラパゴ数列は

$$\displaystyle~G_n=\frac{i^n-(-i)^n}{i-(-i)}=\frac{i^{n-1}-(-i)^{n-1}}{2}$$

と表せるため $$\{G_0,~G_1,~G_2,~G_3,~\cdots\}=\{0,~1,~0,~-1,~\cdots\}$$ という４項周期となり、既知のマクローリン展開形に一致することを確認できる。

また、$$\cos_zx$$ と $$\sin_zx$$ のマクローリン展開係数に現れる $$-G_{n-1}$$ と $$G_n$$ をそれぞれ $$C_n=-G_{n-1}$$、$$S_n=G_n$$ と表すならば、それぞれの数列は次の行列の積としても表現できる。

$$\begin{align*} \begin{pmatrix}C_n&C_{n+1}\\S_n&S_{n+1}\end{pmatrix} =&\begin{pmatrix}0&-1\\1&z-\overline{z}\end{pmatrix}^n\\ =&\displaystyle\frac{1}{z-\overline{z}}\begin{pmatrix}-z^{-1}&-z\\1&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}z^n&0\\0&z^{-n}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&z\\-1&-z^{-1}\end{pmatrix}\\ =&\displaystyle\frac{1}{z-\overline{z}}\begin{pmatrix}-(z^{n-1}-\overline{z}^{~n-1})&-(z^n-\overline{z}^{~n})\\z^n-\overline{z}^{~n}&z^{n+1}-\overline{z}^{~n+1}\end{pmatrix}\\ =&\displaystyle\frac{1}{2i\sin\left(\mathrm{Arg}~z\right)}\begin{pmatrix}-2i\sin\left[(n-1)\mathrm{Arg}~z\right]&-2i\sin\left(n~\mathrm{Arg}~z\right)\\2i\sin\left(n~\mathrm{Arg}~z\right)&2i\sin\left[(n+1)\mathrm{Arg}~z\right]\end{pmatrix}\\ =&\displaystyle\frac{1}{\sin\left(\mathrm{Arg}~z\right)}\begin{pmatrix}-\sin\left[(n-1)\mathrm{Arg}~z\right]&-\sin\left(n~\mathrm{Arg}~z\right)\\\sin\left(n~\mathrm{Arg}~z\right)&\sin\left[(n+1)\mathrm{Arg}~z\right]\end{pmatrix}\\ \end{align*}$$

フィボナッチ数列をはじめとする貴金属数列

自然数 $$k$$ に対して、第 $$k$$ 貴金属数は２次方程式 $$x^2-kx-1=0$$ の正の解 $$\frac{k+\sqrt{k^2+4}}2$$ である。

ガラパゴ数列の生成元 $$z$$ を第 $$k$$ 貴金属数とする場合、$$z$$ が実数であることからその複素共役は自分自身に一致（$$z=\overline{z}$$）する。しかし、$$x^2-kx-1=0$$ の共役解の関係を広義の複素共役とみなせば次のように解釈することができる。

$$\begin{cases} z=\displaystyle&\frac{k+\sqrt{k^2+4}}2&\left(=\frac{k}2-\sqrt{-\left[\left(\frac{k}2\right)^2+1\right]}~i\right)\\ \overline{z}=\displaystyle&\frac{k-\sqrt{k^2+4}}2&\left(=\frac{k}2+\sqrt{-\left[\left(\frac{k}2\right)^2+1\right]}~i\right)\\ \end{cases}$$

この場合、$$G_n$$ は第 $$n$$ 貴金属数列に一致し、隣接２項の比の極限は第 $$k$$ 貴金属数 $$\frac{k+\sqrt{k^2+4}}2$$ に収束する。

第 $$1$$ 貴金属数列であるフィボナッチ数列は、隣接２項比の極限が黄金数 $$\phi=\frac{1+\sqrt{5}}2$$ となる数列であり、

$$\begin{cases} z=\displaystyle&\frac{1+\sqrt{5}}2&\left(=\frac{1}2-\sqrt{-\left[\left(\frac{1}2\right)^2+1\right]}~i\right)=\phi\\ \overline{z}=\displaystyle&\frac{1-\sqrt{5}}2&\left(=\frac{1}2+\sqrt{-\left[\left(\frac{1}2\right)^2+1\right]}~i\right)=-\phi^{-1}\\ \end{cases}$$

を生成元とするガラパゴ数列

$$\displaystyle G_n=\frac{\phi^n-(-\phi^{-1})^n}{\phi-(-\phi^{-1})}=\sum_{k=0}^\infty(-1)^k\cdotp\phi^{n-2k-1}=F_n$$

に一致することを確認できる。