ガラパゴ累乗定理

ガラパゴ累乗定理（ガラパゴるいじょうていり）とは、複素数 $$z$$ の累乗は $$r=z+\bar{z}$$ と $$l=-z\cdotp\bar{z}=-|z|^2$$ を用いた漸化式より得られる数列 $$A_n$$ を用いて $$+1$$ と $$z$$ の一次結合の形で表せるという定理である。

ガラパゴ数学の主定理の一つで、$$+1$$ と $$+z$$ を基底の元とする $$\mathbb{R}^2$$ 斜交平面上の幾何を扱うことを主目的として みゆ によって導出された。

概要

複素数 $$z$$ の 整数 $$n$$ 乗は、$$r=z+\bar{z}=2\mathrm{Re}(z)$$ と $$l=-z\cdotp\bar{z}=-|z|^2$$ を用いて次のように表せる。

$$z^n=(A_{n})z+(A_{n-1})l\quad\begin{cases} A_0=0\\ A_1=1\\ A_{k}=(A_{k-1})r+(A_{k-2})l \end{cases}~または~\begin{pmatrix}A_{n+1}\\A_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}r&l\\1&0\end{pmatrix}^n\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$$

$$\begin{array}{l} z^1=&z\\ z^2=&rz+l\\ z^3=&(r^2+l)z+rl\\ z^4=&(r^3+2rl)z+(r^2+l)l\\ z^5=&(r^4+3r^2l+l^2)z+(r^3+2rl)l\\ &\quad\quad\quad\vdots\\ \end{array}$$

$$z^n=\displaystyle\left[\sum_{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor}\binom{n-k-1}{k}r^{n-2k-1}l^{k}\right]z-\left[\sum_{k=0}^{\lfloor (n-2)/2\rfloor}\binom{n-k-2}{k}r^{n-2k-2}l^{k}\right]l$$

特に、 $$z=e^{i\theta}$$ のとき、$$r=2\cos\theta$$、$$l=-1$$ であることから

$$z^n=A_{n}z-A_{n-1}\quad\begin{cases} A_0=0\\ A_1=1\\ A_{k}=(A_{k-1})(2\cos\theta)-(A_{k-2}) \end{cases}~または~\begin{pmatrix}A_{n+1}\\A_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\cos\theta&-1\\1&0\end{pmatrix}^n\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$$

$$\begin{array}{l} z^1&=z&\\ z^2&=rz-1&=(2\cos\theta)z-1\\ z^3&=(r^2-1)z-r&=[(2\cos\theta)^2-1]z-(2\cos\theta)\\ z^4&=(r^3-2r)z-(r^2-1)&=[(2\cos\theta)^3-2(2\cos\theta)]z-[(2\cos\theta)^2-1]\\ z^5&=(r^4-3r^2+1)z-(r^3-2r)&=[(2\cos\theta)^4-3(2\cos\theta)^2+1]z-[(2\cos\theta)^3-2(2\cos\theta)]\\ &\quad\quad\quad\vdots\\ \end{array}$$

$$z^n=\displaystyle\left[\sum_{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor}\binom{n-k-1}{k}(-1)^k(2\cos\theta)^{n-2k-1}\right]z-\left[\sum_{k=0}^{\lfloor (n-2)/2\rfloor}\binom{n-k-2}{k}(-1)^k(2\cos\theta)^{n-2k-2}\right]$$

導出

$$\{z\in\mathbb{C}\}$$ において、$$\mathbb{R}^2$$ 上の複素数 $$z$$ を次のように二乗する。

\begin{align*} z^2=&z\cdot z\\ =&((z+\bar{z})-\bar{z})z\\ =&(z+\bar{z})z-\bar{z}\cdotp z\\ \end{align*}

ここで、$$r=(z+\bar{z})$$、$$l=-\bar{z}\cdotp z$$ と置くと

\begin{align*} z^2=rz-l \end{align*}

両辺に $$z$$ を乗じると $$z^3=rz^2-lz$$ となり、右辺に $$z^2=rz-1$$ を代入することで一次結合の形へと変形できる。この操作を再帰的に繰り返し、任意の整数乗を同形へと帰結させることで漸化式を得る。

またこの導出手順は、共役同士の和と積ができ、かつ、結合法則を満たす数（四元数など）であれば $$z\in\mathrm{C}$$ の範囲に限らず適用可能であることを示している。

幾何への応用

複素平面上の $$0$$ を始点とし $$+1$$ を終点とする位置ベクトル $$\vec{s}$$ と、同じく $$0$$ を始点とし任意の複素数 $$z$$ を終点とする位置ベクトル $$\vec{t}$$ において、原点を中心として $$\vec{s}$$ と $$\vec{t}$$ の成す角度の整数倍だけ $$\vec{t}$$ を回転させて得られる新たな位置ベクトル $$\vec{t'}$$ は、$$\vec{s}$$ と $$\vec{t}$$ を基底の元とするベクトル空間上の１次結合の形で表現可能である。

ガラパゴ三辺比定理

ユークリッド平面上の三角形 $$\triangle OAB$$ において、長さが $$x$$ の辺 $$OA$$ と 長さが $$y$$ の辺 $$AB$$ の成す内角が $$\angle A=\theta~\mathrm{rad}$$ である場合、辺 $$OB$$ を $$O$$ を中心として $$\angle O$$ の偶数倍回転させ、それに伴って各辺の長さを伸縮（負数倍も可）して得られる新たな三角形の三辺比は $$x$$、$$y$$、$$c=\cos\theta$$ の整式で表せるという定理である。本定理を用いることで容易に導出できるが、詳しくはガラパゴ三辺比定理を参照のこと。

ガラパゴ三角関数

$$+1$$ と $$z=e^{i\theta}$$ を理論上の基底の元（$$z$$ が実数であっても独立した元であるものとみなして区別）とする斜交座標系において、極座標 $$e^{xz}$$ の示す座標の実部と $$z$$ 部を得る関数として次のような等式を想定する。

$$e^{xz}=\cos(x,z)+z\sin(x,z)$$

これらの関数 $$\cos(x,z)$$ と $$\sin(x,z)$$ のマクローリン展開形は、本定理によって示すことが可能である。詳しくはガラパゴ三角関数を参照のこと。

黄金数・フィボナッチ数列との関係性

黄金数を $$z=\phi^{\pm1}=\left(\frac12\right)+\left(\frac{\sqrt{-5}}{2}\right)i$$ と解釈して本定理を適用すると

$$r=2\times\frac12=1$$、$$l=\left(\frac14-\frac54\right)=-1$$ となるため

$$z^n=A_{n}z+A_{n-1}\quad\begin{cases} A_0=0\\ A_1=1\\ A_{k}=(A_{k-1})r+(A_{k-2}) \end{cases}~または~\begin{pmatrix}A_{n+1}\\A_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}^n\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$$

を得る。この $$A_n$$ はフィボナッチ数列と同一であり、黄金数とフィボナッチ数列の関係式

$$\phi^n=F_n\phi+F_{n-1}$$

に一致する。