「ガラパゴ数学」の版間の差分

提供: 数学を愛する会Wiki
ナビゲーションに移動 検索に移動
細
 
(2人の利用者による、間の86版が非表示)
1行目: 1行目:
−
'''ガラパゴ数学'''(がらぱごすうがく、Galapagothmetic）とは、多様体型オブジェクト上の座標または座標によって示される大きさを数と捉える数学の考え方（視点）である。
+
'''ガラパゴ数学'''(がらぱごすうがく、Galapagothmetic）とは、多様体型オブジェクト上の大きさ（量）や位置（座標）を数と捉える数学の思考体系（視点）である。
  
 
==はじめに==
 
==はじめに==
8行目: 8行目:
 
ガラパゴ数学という名は、「隔離空間で独自に進化した数学」という意味で ガラパゴス（諸島）+ 数学 より命名された。英語表記の Galapagothmetic は Galapagoth + Arithmetic を語源とし、数学（mathematics）の中でもとりわけ数の概念や演算の論理的手続きを明らかにするという意味合いで算術（arithmetic）の語が用いられている。
 
ガラパゴ数学という名は、「隔離空間で独自に進化した数学」という意味で ガラパゴス（諸島）+ 数学 より命名された。英語表記の Galapagothmetic は Galapagoth + Arithmetic を語源とし、数学（mathematics）の中でもとりわけ数の概念や演算の論理的手続きを明らかにするという意味合いで算術（arithmetic）の語が用いられている。
  
−
ガラパゴ数学は既存の数学とは大きく異なる思考体系を持つことに注意されたい。
+
ガラパゴ数学は既存の数学とは異なる思考体系を持つことに注意されたい。
 +
 
  
 
==数==
 
==数==
−
多様体型オブジェクト上の座標または座標によって示される大きさを '''数''' と呼ぶ。一般に多様体といえば「局所的にはユークリッド空間と見なせるような図形や位相空間」と表現されるが、ここでいう多様体型オブジェクトとは数直線や複素平面、線形空間のような多様体（の一部）とみなして扱うことができるオブジェクト（図形）の総称で、'''座標'''・'''大きさ'''・'''方向'''（姿勢） という概念を適用可能という特徴を持つ。また、座標によって示される大きさというのは必ずしも１次元的である必要はない。このようなオブジェクトに対し一定のルールに従って座標をマッピングしたとき、そのルールと座標全体を総称して '''座標系''' と呼ぶ。
+
ガラパゴ数学では、大きさや位置といった概念を適用可能なオブジェクト（数直線や複素平面、線形空間など多様体または多様体の一部とみなして扱うことができる概念）上における「大きさ」や「位置」またはそれらにラベリングされる名前の総称を数と定義する。ここでいう大きさとはオブジェクト上に想定可能かつ方向性や形状などを有する１次元（１階）以上の情報、位置とはオブジェクト上の特定の場所を指し示す無次元（０階）の情報であり、大きさに対してラベリングされる（された）名前を '''量'''、位置に対してラベリングされる（された）名前を '''座標''' と呼ぶ。また、階数を落とした視点を想定することで大きさを広義の意味での位置情報とみなすことも可能であり、その場合の量も広義の意味で座標と呼ぶ。
 +
 
  
 
==座標系==
 
==座標系==
 +
オブジェクトに対して何らかのルールを定めて各座標をラベリングしたとき、それらの座標の集合を '''座標系'''と呼ぶ。
 
ガラパゴ数学において主として扱われる座標系は以下のルールをベースとする。
 
ガラパゴ数学において主として扱われる座標系は以下のルールをベースとする。
−
* 任意の座標を座標の基準(原点)とし、'''0''' と名付ける。
 
−
* 任意の座標によって示される量を大きさの基準とし、$$\mathrm{P}$$ と名付ける。
 
  
 +
* オブジェクト上の任意の大きさに対して $$\mathrm{P}$$ とラベリングし、これを基準量(基底)とする。
 +
* オブジェクト上の任意の位置に対して $$\mathrm{0}$$ とラベリングし、これを基準座標(原点)とする。
 +
* 同一のオブジェクト上に定められた基準 $$\mathrm{P}$$ と $$\mathrm{0}$$ によってそのオブジェクトの座標系を一意に定める。
  
−
特に $$\mathrm{P}$$ が１次元的な大きさを持つ場合
+
===標準座標系===
−
* $$\mathrm{P}$$ の大きさを '''1''' と名付ける。
+
標準座標系とは、$$\mathrm{P}$$ の大きさが１次元（$$\mathrm{P}$$ が１階のテンソルを用いて表現可能）の場合の座標系である。具体例としては、実数や複素数など多元数範囲で表現可能なユークリッド座標系が挙げられる。
−
* $$\mathrm{P}$$ の指し示す方向を '''+''' と名付ける。
+
 
−
* 0 を基準として $$\mathrm{P}$$ の指し示す座標を '''+1''' と名付ける。
+
* $$\mathrm{P}$$ の大きさ(絶対値)を '''1''' とする。
 +
* $$\mathrm{P}$$ の方向性(符号あるいは偏角)を '''+''' とする。
 +
* $$\mathrm{P}$$ を位置ベクトル、$$\mathrm{0}$$ をその起点とみなしたときの終点の位置に '''+1''' とラベリングする。
 
　混同の恐れがない限り、座標の +1 は単に 1 と略すことができる。
 
　混同の恐れがない限り、座標の +1 は単に 1 と略すことができる。
  
 +
{| class="wikitable" style="text-align:center"
 +
!
 +
!ラベリング
 +
!基準
 +
|-
 +
!大きさ情報
 +
| 量
 +
| 基底 $$\mathrm{P}$$（標準座標系：$$\mathrm{1}$$）
 +
|-
 +
!位置情報
 +
| 座標
 +
| 原点 $$\mathrm{0}$$（標準座標系：$$\mathrm{0}$$）
 +
|}
 +
 +
==演算==
 +
基準量(基底) $$\mathrm{P}$$ と 基準座標(原点) $$\mathrm{0}$$ の両者が一意に定まると座標系も一意に定まり、どちらか一方でも異なれば座標系も異なる。このことは、同一のオブジェクト上に異なる複数の座標系を想定可能であることを意味している。そのような異なる座標系においてそれぞれの座標を相互に変換（翻訳あるいは新規ラベリング）するプロセスを '''演算''' と呼ぶ。
 +
 +
{| class="wikitable" style="text-align:center"
 +
!
 +
!基準座標(原点) $$\mathrm{0}$$ が同一の座標系
 +
!基準座標(原点) $$\mathrm{0}$$ が異なる座標系
 +
|-
 +
!基準量(基底) $$\mathrm{P}$$ が同一の座標系
 +
| 無変換
 +
| 座標変換
 +
|-
 +
!基準量(基底) $$\mathrm{P}$$ が異なる座標系
 +
| 量変換
 +
| 複合変換
 +
|}
  
−
0 や 𝕡 は任意に定めることができるため、異なる複数の座標系を想定することができる。
+
===座標変換===
 +
「基準量(基底) $$\mathrm{P}$$ が同一で、基準座標(原点) $$\mathrm{0}$$ の異なる座標系 A と B に対する座標変換」に該当する主な演算は'''加減算'''であり、以下の２つに分類される。
  
 +
'''加算'''（足し算）
 +
:A における 座標 a が B における 基準座標(原点) $$\mathrm{0}$$ に一致するとき、B における 座標 b は A における 座標 a＋b
 +
:{| class="wikitable" style="text-align:center"
 +
!
 +
! 基準量
 +
! colspan="2" | 座標変換（座標翻訳）
 +
|-
 +
! 座標系 A
 +
| rowspan="2" | $$\mathrm{P}$$
 +
| a
 +
| a＋b
 +
|-
 +
! 座標系 B
 +
| $$\mathrm{0}$$
 +
| b
 +
|}
  
−
==演算==
+
'''減算'''（引き算）
−
同一の（または同一視可能な）多様体型オブジェクトに複数の座標系を想定したとき、異なる座標系同士の座標を相互に翻訳することを '''演算''' と呼ぶ。
+
:A における 座標 a が B における 座標 b に一致するとき、B における 基準座標(原点) $$\mathrm{0}$$ は A における 座標 a－b
 +
:{| class="wikitable" style="text-align:center"
 +
!
 +
! 基準量
 +
! colspan="2" | 座標変換（座標翻訳）
 +
|-
 +
! 座標系 A
 +
| rowspan="2" | $$\mathrm{P}$$
 +
| a
 +
| a－b
 +
|-
 +
! 座標系 B
 +
| b
 +
| $$\mathrm{0}$$
 +
|}
 +
 
 +
===量変換===
 +
「基準座標(原点) $$\mathrm{0}$$ が同一で、基準量(基底) $$\mathrm{P}$$ の異なる座標系 A と B に対する量変換」に該当する主な演算は'''乗除算'''であり、以下の２つに分類される。
 +
 
 +
'''乗算'''（掛け算）
 +
:A における 量 a が B における 基準量(基底) $$\mathrm{P}$$ に一致するとき、B における 量 b は A における 量 a×b
 +
:{| class="wikitable" style="text-align:center"
 +
!
 +
! 基準座標
 +
! colspan="2" | 量変換（量翻訳）
 +
|-
 +
! 座標系 A
 +
| rowspan="2" | $$\mathrm{0}$$
 +
| a
 +
| a×b
 +
|-
 +
! 座標系 B
 +
| $$\mathrm{P}$$
 +
| b
 +
|}
  
−
===加減算===
+
'''除算'''（割り算）
−
加減算は「$$\mathrm{P}$$ が共通で 0 の異なる座標系 A と B に対する演算」に該当し、主に'''加算'''と'''減算'''の二種類に分けられる。
+
:A における 量 a が B における 量 b に一致するとき、B における 基準量(基底) $$\mathrm{P}$$ は A における 量 a÷b
 +
:{| class="wikitable" style="text-align:center"
 +
!
 +
! 基準座標
 +
! colspan="2" | 量変換（量翻訳）
 +
|-
 +
! 座標系 A
 +
| rowspan="2" | $$\mathrm{0}$$
 +
| a
 +
| a÷b
 +
|-
 +
! 座標系 B
 +
| b
 +
| $$\mathrm{P}$$
 +
|}
  
−
加算（足し算）
 
−
:A における a が B における 0 のとき、B における b は A における a＋b
 
  
−
減算（引き算）
+
加減算と乗除算を合わせて'''四則演算'''と呼び、それらは次のような対称性を持つ。
−
:A における a が B における b のとき、B における 0 は A における a－b
 
  
−
===乗除算===
+
{| class="wikitable" style="text-align:center"
−
乗除算は「0 が共通で $$\mathrm{P}$$ の異なる座標系 A と B に対する演算」に該当し、主に'''乗算'''と'''除算'''の二種類に分けられる。
+
|-
 +
! rowspan="2" | 演算
 +
! colspan="2" | 座標系 A と B の関係
 +
! rowspan="2" | 変換対象
 +
! colspan="3" | 一致条件
 +
! colspan="3" | 変換（翻訳）
 +
|-
 +
! 同
 +
! 異
 +
! 座標系 A
 +
!
 +
! 座標系 B
 +
! 座標系 B
 +
!
 +
! 座標系 A
 +
|-
 +
! 加算（足し算）
 +
! rowspan="2" | 基準量 $$\mathrm{P}$$
 +
! rowspan="2" | 基準座標 $$\mathrm{0}$$
 +
! rowspan="2" | 座標
 +
| rowspan="2" | 座標 a
 +
| rowspan="2" | =
 +
| 基準座標 $$\mathrm{0}$$
 +
| 座標 b
 +
| rowspan="2" | →
 +
| a＋b
 +
|-
 +
! 減算（引き算）
 +
| 座標 b
 +
| 基準座標 $$\mathrm{0}$$
 +
| a－b
 +
|-
 +
! 乗算（掛け算）
 +
! rowspan="2" | 基準座標 $$\mathrm{0}$$
 +
! rowspan="2" | 基準量 $$\mathrm{P}$$
 +
! rowspan="2" | 量
 +
| rowspan="2" | 量 a
 +
| rowspan="2" | =
 +
| 基準量 $$\mathrm{P}$$
 +
| 量 b
 +
| rowspan="2" | →
 +
| a×b
 +
|-
 +
! 除算（割り算）
 +
| 量 b
 +
| 基準量 $$\mathrm{P}$$
 +
| a÷b
 +
|}
  
−
乗算（掛け算）
 
−
:A における a が B における $$\mathrm{P}$$ のとき、B における b は A における a×b
 
  
−
除算（割り算）
+
==既存の数学による説明==
−
:A における a が B における b のとき、B における $$\mathrm{P}$$ は A における a÷b
+
ガラパゴ数学における演算の概念を既存の数学用語で表現するならば、対称性を用いて図形を同一視する手法であると説明することができる。
  
 +
例えば、加減算は直線の並進対称性である。「直線をどれだけ動かすか」を1つ指定しこれを a とすると、これは既存の数学では直線の持つ対称性の1つとなる。ガラパゴ数学では動かす前と後の直線を f(x)=a+x という関係性で同一視し、これを足し算とみなす。
  
−
加減算と乗除算を合わせて'''四則演算'''と呼ぶ。
 
  
 
==関連項目==
 
==関連項目==
 +
* [[ガラパゴ数列]]
 +
 
* [[ガラパゴ累乗定理]]
 
* [[ガラパゴ累乗定理]]
  

2021年1月29日 (金) 16:22時点における最新版

ガラパゴ数学(がらぱごすうがく、Galapagothmetic）とは、多様体型オブジェクト上の大きさ（量）や位置（座標）を数と捉える数学の思考体系（視点）である。

はじめに

ガラパゴ数学は、創始者である みゆ が「数とはなにか」「演算とはなにか」という数学の根幹・本質を追求したことによって生み出された。扱う対象が数理である以上、そこから得られる結果が既存の数学と異なるわけではないが、ガラパゴ数学の特徴は独自の視点による見通しの良さにあり、幾何・線形代数・整数論・群論といった数学の各分野をシームレスにしている。

特定の学問分野にカテゴライズされるようなものではなく、数理を扱う上での考え方（視点）を得ることがガラパゴ数学の主題である。概念を伝達する便宜上、既存の数学表現や日常用語あるいは図示などを用いた翻訳によって説明されるが、数式や用語などを定義したり表現方法を定めたりすることは本来は範疇ではない。

ガラパゴ数学という名は、「隔離空間で独自に進化した数学」という意味で ガラパゴス（諸島）+ 数学 より命名された。英語表記の Galapagothmetic は Galapagoth + Arithmetic を語源とし、数学（mathematics）の中でもとりわけ数の概念や演算の論理的手続きを明らかにするという意味合いで算術（arithmetic）の語が用いられている。

ガラパゴ数学は既存の数学とは異なる思考体系を持つことに注意されたい。


数

ガラパゴ数学では、大きさや位置といった概念を適用可能なオブジェクト（数直線や複素平面、線形空間など多様体または多様体の一部とみなして扱うことができる概念）上における「大きさ」や「位置」またはそれらにラベリングされる名前の総称を数と定義する。ここでいう大きさとはオブジェクト上に想定可能かつ方向性や形状などを有する１次元（１階）以上の情報、位置とはオブジェクト上の特定の場所を指し示す無次元（０階）の情報であり、大きさに対してラベリングされる（された）名前を 量、位置に対してラベリングされる（された）名前を 座標 と呼ぶ。また、階数を落とした視点を想定することで大きさを広義の意味での位置情報とみなすことも可能であり、その場合の量も広義の意味で座標と呼ぶ。


座標系

オブジェクトに対して何らかのルールを定めて各座標をラベリングしたとき、それらの座標の集合を 座標系と呼ぶ。 ガラパゴ数学において主として扱われる座標系は以下のルールをベースとする。

  • オブジェクト上の任意の大きさに対して $$\mathrm{P}$$ とラベリングし、これを基準量(基底)とする。
  • オブジェクト上の任意の位置に対して $$\mathrm{0}$$ とラベリングし、これを基準座標(原点)とする。
  • 同一のオブジェクト上に定められた基準 $$\mathrm{P}$$ と $$\mathrm{0}$$ によってそのオブジェクトの座標系を一意に定める。

標準座標系

標準座標系とは、$$\mathrm{P}$$ の大きさが１次元（$$\mathrm{P}$$ が１階のテンソルを用いて表現可能）の場合の座標系である。具体例としては、実数や複素数など多元数範囲で表現可能なユークリッド座標系が挙げられる。

  • $$\mathrm{P}$$ の大きさ(絶対値)を 1 とする。
  • $$\mathrm{P}$$ の方向性(符号あるいは偏角)を + とする。
  • $$\mathrm{P}$$ を位置ベクトル、$$\mathrm{0}$$ をその起点とみなしたときの終点の位置に +1 とラベリングする。

　混同の恐れがない限り、座標の +1 は単に 1 と略すことができる。

ラベリング 基準
大きさ情報 量 基底 $$\mathrm{P}$$（標準座標系：$$\mathrm{1}$$）
位置情報 座標 原点 $$\mathrm{0}$$（標準座標系：$$\mathrm{0}$$）

演算

基準量(基底) $$\mathrm{P}$$ と 基準座標(原点) $$\mathrm{0}$$ の両者が一意に定まると座標系も一意に定まり、どちらか一方でも異なれば座標系も異なる。このことは、同一のオブジェクト上に異なる複数の座標系を想定可能であることを意味している。そのような異なる座標系においてそれぞれの座標を相互に変換（翻訳あるいは新規ラベリング）するプロセスを 演算 と呼ぶ。

基準座標(原点) $$\mathrm{0}$$ が同一の座標系 基準座標(原点) $$\mathrm{0}$$ が異なる座標系
基準量(基底) $$\mathrm{P}$$ が同一の座標系 無変換 座標変換
基準量(基底) $$\mathrm{P}$$ が異なる座標系 量変換 複合変換

座標変換

「基準量(基底) $$\mathrm{P}$$ が同一で、基準座標(原点) $$\mathrm{0}$$ の異なる座標系 A と B に対する座標変換」に該当する主な演算は加減算であり、以下の２つに分類される。

加算（足し算）

A における 座標 a が B における 基準座標(原点) $$\mathrm{0}$$ に一致するとき、B における 座標 b は A における 座標 a＋b
基準量 座標変換（座標翻訳）
座標系 A $$\mathrm{P}$$ a a＋b
座標系 B $$\mathrm{0}$$ b

減算（引き算）

A における 座標 a が B における 座標 b に一致するとき、B における 基準座標(原点) $$\mathrm{0}$$ は A における 座標 a－b
基準量 座標変換（座標翻訳）
座標系 A $$\mathrm{P}$$ a a－b
座標系 B b $$\mathrm{0}$$

量変換

「基準座標(原点) $$\mathrm{0}$$ が同一で、基準量(基底) $$\mathrm{P}$$ の異なる座標系 A と B に対する量変換」に該当する主な演算は乗除算であり、以下の２つに分類される。

乗算（掛け算）

A における 量 a が B における 基準量(基底) $$\mathrm{P}$$ に一致するとき、B における 量 b は A における 量 a×b
基準座標 量変換（量翻訳）
座標系 A $$\mathrm{0}$$ a a×b
座標系 B $$\mathrm{P}$$ b

除算（割り算）

A における 量 a が B における 量 b に一致するとき、B における 基準量(基底) $$\mathrm{P}$$ は A における 量 a÷b
基準座標 量変換（量翻訳）
座標系 A $$\mathrm{0}$$ a a÷b
座標系 B b $$\mathrm{P}$$


加減算と乗除算を合わせて四則演算と呼び、それらは次のような対称性を持つ。

演算 座標系 A と B の関係 変換対象 一致条件 変換（翻訳）
同 異 座標系 A 座標系 B 座標系 B 座標系 A
加算（足し算） 基準量 $$\mathrm{P}$$ 基準座標 $$\mathrm{0}$$ 座標 座標 a = 基準座標 $$\mathrm{0}$$ 座標 b → a＋b
減算（引き算） 座標 b 基準座標 $$\mathrm{0}$$ a－b
乗算（掛け算） 基準座標 $$\mathrm{0}$$ 基準量 $$\mathrm{P}$$ 量 量 a = 基準量 $$\mathrm{P}$$ 量 b → a×b
除算（割り算） 量 b 基準量 $$\mathrm{P}$$ a÷b


既存の数学による説明

ガラパゴ数学における演算の概念を既存の数学用語で表現するならば、対称性を用いて図形を同一視する手法であると説明することができる。

例えば、加減算は直線の並進対称性である。「直線をどれだけ動かすか」を1つ指定しこれを a とすると、これは既存の数学では直線の持つ対称性の1つとなる。ガラパゴ数学では動かす前と後の直線を f(x)=a+x という関係性で同一視し、これを足し算とみなす。


関連項目

「https://wiki.mathlava.com/w/index.php?title=ガラパゴ数学&oldid=1260」から取得