「ガラパゴ三角関数」の版間の差分

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'''ガラパゴ三角関数'''（ガラパゴさんかくかんすう）とは、$$+1$$ と $$z=e^{i\theta}$$ を理論上の基底の元（$$z$$ が実数であっても独立した元であるものとみなして区別）とする斜交座標系において、極座標 $$e^{xz}$$ が示す座標の実部と $$z$$ 部を得る関数である。一般的な三角関数の純粋な拡張として [[みゆ]] により考案された。
+
'''ガラパゴ三角関数'''（ガラパゴさんかくかんすう）とは、$$+1$$ と $$z=e^{i\theta}$$ を理論上の基底の元（$$z$$ が実数であっても独立した元であるものとみなして区別）とする斜交座標系において、極座標 $$e^{xz}$$ を基底の元の線形結合で表現したときの各元の係数を得る関数である。一般的な三角関数の純粋な拡張として [[みゆ]] により考案された。
  
  
−
$$e^{xz}=\cos(x,z)+z\sin(x,z)$$
+
[[ファイル:ガラパゴ三角関数の幾何イメージ.png |480px|center|border|ガラパゴ三角関数の幾何イメージ]]
−
:偏角： $$\arg z=\arg e^{xe^{i\theta}}=x\sin\theta~(\mathrm{rad})$$
 
−
:絶対値： $$|z|=|e^{xe^{i\theta}}|=e^{x\cos\theta}$$
 
−
:$$\displaystyle\cos(x,e^{i\theta})=\lim_{t\to\theta}\left[e^{x\cos t}\cos(x\sin t)-\frac{e^{x\cos t}\sin(x\sin t)}{\tan t}\right]$$
 
−
:$$\displaystyle\sin(x,e^{i\theta})=\lim_{t\to\theta}\left[\frac{e^{x\cos t}\sin(x\sin t)}{\sin t}\right]$$
 
  
  
−
標準化（$$\theta\ne N\pi$$、$$\{N\in\mathbb{Z}\}$$）
+
==概要==
 +
ガラパゴ三角関数 $$\cos_zx$$、$$\sin_zx$$ は、次のように表される。
  
−
$$e^{i\alpha}=e^{-\alpha\cot\theta}\left[\cos\left(\frac{\alpha}{\sin\theta},e^{i\theta}\right)+z\sin\left(\frac{\alpha}{\sin\theta},e^{i\theta}\right)\right]$$
+
 
−
:偏角： $$\arg e^{i\alpha}=\alpha$$
+
:$$\begin{align*}
−
:絶対値： $$|e^{i\alpha}|=1$$
+
&\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}z\right)^n=e^{xz}=\cos_zx+z\sin_zx\\
 +
&\quad\begin{cases}
 +
z=e^{i\theta}\\
 +
\displaystyle\cos_zx=\lim_{t\to\theta}\left[e^{x\cos t}\cos(x\sin t)-\frac{e^{x\cos t}\sin(x\sin t)}{\tan t}\right]\\
 +
\displaystyle\sin_zx=\lim_{t\to\theta}\left[\frac{e^{x\cos t}\sin(x\sin t)}{\sin t}\right]
 +
\end{cases}
 +
\end{align*}$$
 +
 
 +
 
 +
この式は
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 +
$$\begin{pmatrix}C_{n}&C_{n+1}\\S_{n}&S_{n+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&-1\\1&2\cos\theta\end{pmatrix}^n$$ あるいは $$\begin{pmatrix}S_{n+1}\\S_{n}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\cos\theta&-1\\1&0\end{pmatrix}^n\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$$ より得られる数列
 +
 
 +
 
 +
$$\begin{cases}
 +
S_0=0\\
 +
S_1=1\\
 +
S_{n}=-(S_{n-2})+(2\cos\theta)(S_{n-1})
 +
\end{cases}$$
  
  
−
__TOC__
+
を用いると、級数展開形にて書き改めることができる。
 +
 
 +
 
 +
:$$\begin{align*}
 +
e^{xz}=&\cos_zx+z\sin_zx\\
 +
=&\left(\sum_{k=0}^\infty\frac{C_{k}x^k}{k!}\right)+z\left(\sum_{k=0}^\infty\frac{S_{k}x^k}{k!}\right)\\
 +
=&\left(-\sum_{k=0}^\infty\frac{S_{k-1}x^k}{k!}\right)+z\left(\sum_{k=0}^\infty\frac{S_{k}x^k}{k!}\right)\\
 +
\end{align*}$$
 +
 
 +
 
 +
ちなみにこの数列 $$S_n$$ は $$z$$ を生成元とする第１種[[ガラパゴ数列]]と同一である。
 +
 
 +
 
 +
$$z=e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$$、すなわち $$e^{xz}=e^{x(\cos\theta+i\sin\theta)}=e^{x\cos\theta+ix\sin\theta}$$ であることから、
 +
 
 +
$$e^{xz}$$ の偏角は $$\arg e^{xz}=x\sin\theta$$、絶対値は $$|e^{xz}|=e^{x\cos\theta}$$ であることがわかる。
 +
 
 +
 
 +
$$\{\theta\ne N\pi\mid N\in\mathbb{Z}\}$$ においては $$|e^{xz}|=1$$ へ標準化することで直交座標系との関係性が次のように示される。
 +
 
 +
$$\begin{cases}
 +
\alpha=\arg e^{xz}=x\sin\theta\\
 +
\begin{align*}
 +
e^{i\alpha}=&\cos\alpha+i\sin\alpha\\
 +
=&e^{-\alpha\cot\theta}\left[\cos_z\frac{\alpha}{\sin\theta}+z\sin_z\frac{\alpha}{\sin\theta}\right]\end{align*}
 +
\end{cases}$$
 +
 
  
 
==導出==
 
==導出==
−
$$e^{xe^{i\theta}}=\cos\left(x,e^{i\theta}\right)+z\sin\left(x,e^{i\theta}\right)$$ の両辺を直交座標形式に変換
+
$$z=e^{i\theta}$$ において、 $$e^{xz}=\cos_zx+z\sin_zx$$ の両辺を直交座標形式に変換
  
  
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右辺
 
右辺
 
:$$\begin{align*}
 
:$$\begin{align*}
−
&\cos\left(x,e^{i\theta}\right)+z\sin\left(x,e^{i\theta}\right)\\
+
&\cos_zx+z\sin_zx\\
−
=&\cos\left(x,e^{i\theta}\right)+(\cos\theta+i\sin\theta)\sin\left(x,e^{i\theta}\right)\\
+
=&\cos_zx+(\cos\theta+i\sin\theta)\sin_zx\\
−
=&\left[\cos\left(x,e^{i\theta}\right)+\cos\theta\sin\left(x,e^{i\theta}\right)\right]+i\sin\theta\sin\left(x,e^{i\theta}\right)
+
=&\left[\cos_zx+\cos\theta\sin_zx\right]+i\sin\theta\sin_zx
 
\end{align*}$$
 
\end{align*}$$
  
  
 
両辺の実部と虚部をそれぞれ比較
 
両辺の実部と虚部をそれぞれ比較
−
:$$e^{x\cos\theta}\cos(x\sin\theta)=\cos\left(x,e^{i\theta}\right)+\cos\theta\sin\left(x,e^{i\theta}\right)$$
+
:$$e^{x\cos\theta}\cos(x\sin\theta)=\cos_zx+\cos\theta\sin_zx$$
−
:$$e^{x\cos\theta}\sin(x\sin\theta)=\sin\theta\sin\left(x,e^{i\theta}\right)$$
+
:$$e^{x\cos\theta}\sin(x\sin\theta)=\sin\theta\sin_zx$$
  
  
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$$\begin{align*}
 
$$\begin{align*}
−
\cos(x,e^{i\theta})&=\lim_{t\to\theta}\left[e^{x\cos t}\cos(x\sin t)-\frac{e^{x\cos t}\sin(x\sin t)}{\tan t}\right]\\
+
\cos_zx&=\lim_{t\to\theta}\left[e^{x\cos t}\cos(x\sin t)-\frac{e^{x\cos t}\sin(x\sin t)}{\tan t}\right]\\
−
\sin(x,e^{i\theta})&=\lim_{t\to\theta}\left[\frac{e^{x\cos t}\sin(x\sin t)}{\sin t}\right]\\
+
\sin_zx&=\lim_{t\to\theta}\left[\frac{e^{x\cos t}\sin(x\sin t)}{\sin t}\right]\\
 
\end{align*}$$
 
\end{align*}$$
 +
  
 
==級数展開形==
 
==級数展開形==
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$$\exp$$関数のマクローリン展開より
 
$$\exp$$関数のマクローリン展開より
  
−
:$$\begin{align*}
+
 
−
e^{xz}=&\exp(xz)\\
+
:$$\displaystyle e^{xz}=\exp(xz)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(xz)^n}{n!}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}x^n$$
−
=&\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(xz)^n}{n!}\\
+
 
−
=&\frac{(xz)^0}{0!}+\frac{(xz)^1}{1!}+\sum_{n=2}^\infty\frac{(xz)^n}{n!}\\
+
 
−
=&1+z+\sum_{n=2}^\infty\frac{x^n}{n!}z^n\\
+
[[ガラパゴ累乗定理]]より、$$z$$ を生成元とする第１種[[ガラパゴ数列]] $$\displaystyle G_n=\frac{z^n-\overline{z}^{~n}}{z-\overline{z}}=\sum_{k=0}^\infty z^{n-2k-1}$$ を用いて
−
\end{align*}$$
+
 
 +
 
 +
:$$z^n = G_nz-G_{n-1}$$
  
  
−
[[ガラパゴ累乗定理]]により $$z^n$$ は $$+1$$ 成分 と $$+z$$ 成分に分離できるため
+
と表せるため、
−
:$$\displaystyle\cos(x,e^{i\theta})=1-\sum_{n=2}^\infty\frac{x^n}{n!}\left[\sum_{k=0}^{\lfloor (n-2)/2\rfloor}\binom{n-k-2}{k}(-1)^k\left(2\cos\theta\right)^{n-2k-2}\right]$$
 
−
:$$\displaystyle\sin(x,e^{i\theta})=1+\sum_{n=2}^\infty\frac{x^n}{n!}\left[\sum_{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor}\binom{n-k-1}{k}(-1)^k\left(2\cos\theta\right)^{n-2k-1}\right]$$
 
  
  
−
あるいは漸化式を用いて
 
 
:$$\begin{align*}
 
:$$\begin{align*}
−
\cos(x,e^{i\theta})=&-\sum_{k=0}^\infty\frac{A_{k-1}x^k}{k!}\\
+
\cos_zx=&-\sum_{k=0}^\infty\frac{G_{k-1}x^k}{k!}\\
−
\sin(x,e^{i\theta})=&+\sum_{k=0}^\infty\frac{A_{k}x^k}{k!}\\
+
\sin_zx=&+\sum_{k=0}^\infty\frac{G_{k}x^k}{k!}\\
 
\end{align*}
 
\end{align*}
−
\begin{cases}
 
−
A_0=0\\
 
−
A_1=1\\
 
−
A_{k}=(2\cos\theta)A_{k-1}-A_{k-2}
 
−
\end{cases}
 
 
$$
 
$$
  
  
−
$$z=e^{2\pi i}$$ のとき（$$2\cos\theta=2$$）
+
$$z=\mathrm{P}=e^{2\pi i}=1$$ のとき $$\rightarrow~2\cos\theta=2$$
−
:$$\displaystyle\cos\left(x,1\right)=(1-x)e^x$$
+
:$$\displaystyle\cos_zx=(1-x)e^x$$
−
:$$\displaystyle\sin\left(x,1\right)=xe^x$$
+
:$$\displaystyle\sin_zx=xe^x$$
  
  
−
$$1$$ の原始 $$2$$ 乗根 $$z=e^{\frac{2\pi i}{2}}$$ のとき（$$2\cos\theta=-2$$）
+
$$z=\mathrm{P}^\frac12=e^{\frac{1}{2}\cdotp2\pi i}=-1$$（$$1$$ の原始 $$2$$ 乗根）のとき $$\rightarrow~2\cos\theta=-2$$
−
:$$\displaystyle\cos\left(x,-1\right)=(1+x)e^{-x}$$
+
:$$\displaystyle\cos_zx=(1+x)e^{-x}$$
−
:$$\displaystyle\sin\left(x,-1\right)=xe^{-x}$$
+
:$$\displaystyle\sin_zx=xe^{-x}$$
  
  
−
$$1$$ の原始 $$3$$ 乗根 $$z=e^{\frac{2\pi i}{3}}$$ のとき（$$2\cos\theta=-1$$）
+
$$z=\mathrm{P}^\frac13=e^{\frac{1}{3}\cdotp2\pi i}$$（$$1$$ の原始 $$3$$ 乗根）のとき $$\rightarrow~2\cos\theta=-1$$
−
:$$\displaystyle\cos\left(x,e^{\pm\frac{2\pi}{3}}\right)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{3k}}{(3k)!}-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{3k+2}}{(3k+2)!}$$
+
:$$\displaystyle\cos_zx=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{3k}}{(3k)!}-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{3k+2}}{(3k+2)!}$$
−
:$$\displaystyle\sin\left(x,e^{\pm\frac{2\pi}{3}}\right)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{3k+1}}{(3k+1)!}-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{3k+2}}{(3k+2)!}$$
+
:$$\displaystyle\sin_zx=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{3k+1}}{(3k+1)!}-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{3k+2}}{(3k+2)!}$$
  
  
−
$$1$$ の原始 $$4$$ 乗根 $$z=e^{\frac{2\pi i}{3}}$$ のとき（$$2\cos\theta=0$$）
+
$$z=\mathrm{P}^\frac14=e^{\frac{1}{4}\cdotp2\pi i}$$（$$1$$ の原始 $$4$$ 乗根）のとき $$\rightarrow~2\cos\theta=0$$
−
:$$\displaystyle\cos\left(x,e^{\pm\frac{\pi}{2}}\right)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{4k}}{(4k)!}-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{4k+2}}{(4k+2)!}=\cos x$$
+
:$$\displaystyle\cos_zx=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{4k}}{(4k)!}-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{4k+2}}{(4k+2)!}=\cos x$$
−
:$$\displaystyle\sin\left(x,e^{\pm\frac{\pi}{2}}\right)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{4k+1}}{(4k+1)!}-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{4k+3}}{(4k+3)!}=\sin x$$
+
:$$\displaystyle\sin_zx=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{4k+1}}{(4k+1)!}-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{4k+3}}{(4k+3)!}=\sin x$$
 +
 
  
 
==exps関数を用いた表現==
 
==exps関数を用いた表現==
−
$$\exp$$ 関数をマクローリン展開した各項より、$$x$$ の指数が [$$n$$ の倍数－$$m$$] 以外の係数を $$0$$ とした関数を $$\mathrm{exps}(x,n,m)$$ とする。
+
$$\mathrm{exp}_s$$ 関数（skipped exponential 関数）を次のように定義する。
 +
 
 +
$$\displaystyle\exp_s(x)=\left(\sum_{k=0}^\infty\frac{x^{ks}}{(ks)!}\right)$$
 +
 
 +
 
 +
この関数は $$\exp$$ 関数をマクローリン展開した各項のうち、$$x$$ の指数が $$s$$ の倍数である項のみによって構成される関数であり、$$s$$ 階微分することで元の関数と一致する（'''周階導関数'''）。
 +
 
  
 +
この関数を $$m$$ 階微分すると
  
 
$$\begin{align*}
 
$$\begin{align*}
−
\mathrm{exps}(x,n,m)
+
\mathrm{exp}^{(m)}_s(x)
−
=&\left(\sum_{k=0}^\infty\frac{x^{kn}}{(kn)!}\right)^{(m)}\quad\color{#f00}{\leftarrow~(m)~は~m~階微分の意}\\
+
=&\frac{1}{s}\sum_{k=0}^{s-1}\left[\left(e^{\frac{m}{s}\cdot2\pi i}\right)^ke^{\left(e^{\frac{2\pi i}{s}}\right)^kx}\right]\\
−
=&\frac{1}{n}\sum_{k=0}^\infty\left[\left(e^{\frac{m}{n}\cdot2\pi i}\right)^ke^{\left(e^{\frac{2\pi i}{n}}\right)^kx}\right]\\
+
=&\frac{1}{s}\sum_{k=0}^{s-1}\left[\exp\left(\frac{2km\pi}{s}i+\exp\left(\frac{2k\pi}{s}i\right)x\right)\right]
−
=&\frac{1}{n}\sum_{k=0}^\infty\left[\exp\left(\frac{2km\pi}{n}i+\exp\left(\frac{2k\pi}{n}i\right)x\right)\right]
 
 
\end{align*}$$
 
\end{align*}$$
 +
 +
と表されるが、マクローリン展開形を考えれば単に各項の次数が落ちるだけと見ることができる。
 +
 +
すなわち、$$m=0$$ から $$m=s-1$$ までの $$s$$ 種類の関数を標準基底の元とすることで、あらゆる $$s$$ 階の周階導関数を構成可能である。
 +
 +
 +
ガラパゴ三角関数は $$z=e^{i\theta}$$ が実数ではなく、かつ、$$\frac{\theta}{2\pi}$$ が有理数のときに周階導関数となるため、$$\mathrm{exp}_s$$ 関数の $$m$$ 階導関数を用いて以下のように示すことが可能である。
 +
 +
 +
$$z=\mathrm{P}^{\frac13}=e^{\frac{2\pi}3i}$$ の場合
 +
\begin{array}{c}
 +
+\cos_{z}x &=& \exp_3^{(0)}x-\exp_3^{(1)}x &\leftarrow[+1,~~0~,-1]\\
 +
-\sin_{z}x &=&  \exp_3^{(1)}x-\exp_3^{(2)}x &\leftarrow[~~0~,-1,+1]\\
 +
-(\sin_{z}x)' &=&  \exp_3^{(2)}x-\exp_3^{(0)}x &\leftarrow[-1,+1,~~0~]\\
 +
\\
 +
-\cos_{z}x &=& -\exp_3^{(0)}x+\exp_3^{(1)}x &\leftarrow[-1,~~0~,+1]\\
 +
+\sin_{z}x &=& -\exp_3^{(1)}x+\exp_3^{(2)}x &\leftarrow[~~0~,+1,-1]\\
 +
+(\sin_{z}x)' &=& -\exp_3^{(2)}x+\exp_3^{(0)}x &\leftarrow[+1,-1,~~0~]\\
 +
\end{array}
 +
 +
 +
$$z=\mathrm{P}^{\frac14}=e^{\frac{2\pi}4i}=e^{\frac{\pi}2i}$$ の場合
 +
\begin{array}{c}
 +
+\cos x &=& +\cos_zx &=& \exp_4^{(0)}x-\exp_4^{(2)}x &\leftarrow[+1,~~0~,-1,~~0~]\\
 +
-\sin x &=& -\sin_zx &=& \exp_4^{(1)}x-\exp_4^{(3)}x &\leftarrow[~~0~,-1,~~0~,+1]\\
 +
-\cos x &=& -\cos_zx &=& \exp_4^{(2)}x-\exp_4^{(0)}x &\leftarrow[-1,~~0~,+1,~~0~]\\
 +
+\sin x &=& +\sin_zx &=& \exp_4^{(3)}x-\exp_4^{(1)}x &\leftarrow[~~0~,+1,~~0~,-1]\\
 +
\end{array}
  
  
−
この関数は $$n$$ 階微分したとき元の関数と一致する関数（'''周階原始関数'''）を構成する標準基底の元となりうる関数である。
 
  
−
ガラパゴ三角関数は第２引数 $$e^{i\theta}$$ が実数ではなく、かつ、$$\frac{\theta}{2\pi}$$ が有理数のときに周階原始関数となり、以下のように示すことが可能である。
+
$$z=\mathrm{P}^{\frac15}=e^{\frac{2\pi}5i}$$ の場合（$$\phi'=\phi^{-1}=\frac{\sqrt5-1}2$$）
 +
\begin{array}{c}
 +
+\cos_zx &=& +\exp_5^{(0)}x-\exp_5^{(3)}x-\phi'\exp_5^{(2)}x+\phi'\exp_5^{(1)}x &\leftarrow[+1~,~~0~~,-1~,-\phi',+\phi']\\
 +
-\sin_zx &=& +\exp_5^{(1)}x-\exp_5^{(4)}x-\phi'\exp_5^{(3)}x+\phi'\exp_5^{(2)}x &\leftarrow[~~0~~,-1~,-\phi',+\phi',+1~]\\
 +
-(\sin_zx)' &=& +\exp_5^{(2)}x-\exp_5^{(5)}x-\phi'\exp_5^{(4)}x+\phi'\exp_5^{(3)}x &\leftarrow[-1~,-\phi',+\phi',+1~,~~0~~]\\
 +
-(\sin_zx)'' &=& +\exp_5^{(3)}x-\exp_5^{(0)}x-\phi'\exp_5^{(5)}x+\phi'\exp_5^{(4)}x &\leftarrow[-\phi',+\phi',+1~,~~0~~,-1~]\\
 +
-(\sin_zx)''' &=& +\exp_5^{(4)}x-\exp_5^{(1)}x-\phi'\exp_5^{(0)}x+\phi'\exp_5^{(5)}x &\leftarrow[+\phi',+1~,~~0~~,-1~,-\phi']\\
 +
\\
 +
-\cos_zx &=& -\exp_5^{(0)}x+\exp_5^{(3)}x+\phi'\exp_5^{(2)}x-\phi'\exp_5^{(1)}x &\leftarrow[-1~,~~0~~,+1~,+\phi',-\phi']\\
 +
+\sin_zx &=& -\exp_5^{(1)}x+\exp_5^{(4)}x+\phi'\exp_5^{(3)}x-\phi'\exp_5^{(2)}x &\leftarrow[~~0~~,+1~,+\phi',-\phi',-1~]\\
 +
+(\sin_zx)' &=& -\exp_5^{(2)}x+\exp_5^{(0)}x+\phi'\exp_5^{(4)}x-\phi'\exp_5^{(3)}x &\leftarrow[+1~,+\phi',-\phi',-1~,~~0~~]\\
 +
+(\sin_zx)'' &=& -\exp_5^{(3)}x+\exp_5^{(1)}x+\phi'\exp_5^{(0)}x-\phi'\exp_5^{(4)}x &\leftarrow[+\phi',-\phi',-1~,~~0~~,+1~]\\
 +
+(\sin_zx)''' &=& -\exp_5^{(4)}x+\exp_5^{(2)}x+\phi'\exp_5^{(1)}x-\phi'\exp_5^{(0)}x &\leftarrow[-\phi',-1~,~~0~~,+1~,+\phi']\\
 +
\end{array}
  
  
−
\begin{array}{rcrcrcl}
+
$$z=\mathrm{P}^{\frac16}=e^{\frac{2\pi}6i}=e^{\frac{\pi}3i}$$ の場合
−
&&\textstyle\cos\left(x,e^{\frac{1}{3}\cdot2\pi i}\right)&&&=&\mathrm{exps}\left(x,3,0\right)-\mathrm{exps}\left(x,3,1\right)\\
+
\begin{array}{c}
−
&&\textstyle\sin\left(x,e^{\frac{2}{3}\cdot2\pi i}\right)&=&-\sin\left(x,e^{\frac{1}{3}\cdot2\pi i}\right)&=&\mathrm{exps}\left(x,3,1\right)-\mathrm{exps}\left(x,3,2\right)&\\
+
+\cos_{z}x &=& \exp_6^{(0)}x-\exp_6^{(4)}x-\exp_6^{(3)}x+\exp_6^{(1)}x &\leftarrow[+1,~~0~,-1,-1,~~0~,+1]\\
−
&&\textstyle-\cos\left(x,e^{\frac{2}{3}\cdot2\pi i}\right)&&&=&\mathrm{exps}\left(x,3,2\right)-\mathrm{exps}\left(x,3,0\right)\\
+
-\sin_{z}x &=& \exp_6^{(1)}x-\exp_6^{(5)}x-\exp_6^{(4)}x+\exp_6^{(2)}x &\leftarrow[~~0~,-1,-1,~~0~,+1,+1]\\
−
&&\textstyle\cos\left(x,e^{\frac{2}{3}\cdot2\pi i}\right)&&&=&\mathrm{exps}\left(x,3,0\right)-\mathrm{exps}\left(x,3,2\right)\\
+
-(\sin_{z}x)' &=& \exp_6^{(2)}x-\exp_6^{(0)}x-\exp_6^{(5)}x+\exp_6^{(3)}x &\leftarrow[-1,-1,~~0~,+1,+1,~~0~]\\
−
&&\textstyle-\cos\left(x,e^{\frac{1}{3}\cdot2\pi i}\right)&&&=&\mathrm{exps}\left(x,3,1\right)-\mathrm{exps}\left(x,3,0\right)\\
+
\\
−
&&\textstyle\sin\left(x,e^{\frac{1}{3}\cdot2\pi i}\right)&=&-\sin\left(x,e^{\frac{2}{3}\cdot2\pi i}\right)&=&\mathrm{exps}\left(x,3,2\right)-\mathrm{exps}\left(x,3,1\right)\\\\
+
-\cos_{z}x &=& \exp_6^{(3)}x-\exp_6^{(1)}x-\exp_6^{(0)}x+\exp_6^{(4)}x &\leftarrow[-1,~~0~,+1,+1,~~0~,-1]\\
−
\textstyle\cos(x)&=&\cos\left(x,e^{\frac{1}{4}\cdot2\pi i}\right)&=&\cos\left(x,e^{\frac{3}{4}\cdot2\pi i}\right)&=&\mathrm{exps}\left(x,4,0\right)-\mathrm{exps}\left(x,4,2\right)\\
+
+\sin_{z}x &=& \exp_6^{(4)}x-\exp_6^{(2)}x-\exp_6^{(1)}x+\exp_6^{(5)}x &\leftarrow[~~0~,+1,+1,~~0~,-1,-1]\\
−
\textstyle-\sin(x)&=&-\sin\left(x,e^{\frac{1}{4}\cdot2\pi i}\right)&=&\sin\left(x,e^{\frac{3}{4}\cdot2\pi i}\right)&=&\mathrm{exps}\left(x,4,1\right)-\mathrm{exps}\left(x,4,3\right)\\
+
+(\sin_{z}x)' &=& \exp_6^{(5)}x-\exp_6^{(3)}x-\exp_6^{(2)}x+\exp_6^{(0)}x &\leftarrow[+1,+1,~~0~,-1,-1,~~0~]\\
−
\textstyle-\cos(x)&=&-\cos\left(x,e^{\frac{1}{4}\cdot2\pi i}\right)&=&-\cos\left(x,e^{\frac{3}{4}\cdot2\pi i}\right)&=&\mathrm{exps}\left(x,4,2\right)-\mathrm{exps}\left(x,4,0\right)\\
 
−
\textstyle\sin(x)&=&\sin\left(x,e^{\frac{1}{4}\cdot2\pi i}\right)&=&-\sin\left(x,e^{\frac{3}{4}\cdot2\pi i}\right)&=&\mathrm{exps}\left(x,4,3\right)-\mathrm{exps}\left(x,4,1\right)&\\\\
 
−
&&\textstyle\cos\left(x,e^{\frac{1}{6}\cdot2\pi i}\right)&=&\cos\left(x,e^{\frac{4}{6}\cdot2\pi i}\right)&=&\mathrm{exps}\left(x,6,0\right)+\mathrm{exps}\left(x,6,1\right)-\mathrm{exps}\left(x,6,3\right)-\mathrm{exps}\left(x,6,4\right)\\
 
−
&&\textstyle-\sin\left(x,e^{\frac{1}{6}\cdot2\pi i}\right)&=&\sin\left(x,e^{\frac{4}{6}\cdot2\pi i}\right)&=&\mathrm{exps}\left(x,6,1\right)+\mathrm{exps}\left(x,6,2\right)-\mathrm{exps}\left(x,6,4\right)-\mathrm{exps}\left(x,6,5\right)\\
 
−
&&\textstyle-\cos\left(x,e^{\frac{2}{6}\cdot2\pi i}\right)&=&-\cos\left(x,e^{\frac{5}{6}\cdot2\pi i}\right)&=&\mathrm{exps}\left(x,6,2\right)+\mathrm{exps}\left(x,6,3\right)-\mathrm{exps}\left(x,6,5\right)-\mathrm{exps}\left(x,6,0\right)\\
 
−
&&\textstyle-\cos\left(x,e^{\frac{1}{6}\cdot2\pi i}\right)&=&-\cos\left(x,e^{\frac{4}{6}\cdot2\pi i}\right)&=&\mathrm{exps}\left(x,6,3\right)+\mathrm{exps}\left(x,6,4\right)-\mathrm{exps}\left(x,6,0\right)-\mathrm{exps}\left(x,6,1\right)\\
 
−
&&\textstyle\sin\left(x,e^{\frac{1}{6}\cdot2\pi i}\right)&=&\sin\left(x,e^{\frac{2}{6}\cdot2\pi i}\right)&=&\mathrm{exps}\left(x,6,4\right)+\mathrm{exps}\left(x,6,5\right)-\mathrm{exps}\left(x,6,1\right)-\mathrm{exps}\left(x,6,2\right)\\
 
−
&&\textstyle\cos\left(x,e^{\frac{2}{6}\cdot2\pi i}\right)&=&\cos\left(x,e^{\frac{4}{6}\cdot2\pi i}\right)&=&\mathrm{exps}\left(x,6,5\right)+\mathrm{exps}\left(x,6,0\right)-\mathrm{exps}\left(x,6,2\right)-\mathrm{exps}\left(x,6,3\right)\\
 
 
\end{array}
 
\end{array}

2021年4月6日 (火) 00:42時点における最新版

ガラパゴ三角関数（ガラパゴさんかくかんすう）とは、$$+1$$ と $$z=e^{i\theta}$$ を理論上の基底の元（$$z$$ が実数であっても独立した元であるものとみなして区別）とする斜交座標系において、極座標 $$e^{xz}$$ を基底の元の線形結合で表現したときの各元の係数を得る関数である。一般的な三角関数の純粋な拡張として みゆ により考案された。


ガラパゴ三角関数の幾何イメージ


概要

ガラパゴ三角関数 $$\cos_zx$$、$$\sin_zx$$ は、次のように表される。


$$\begin{align*} &\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}z\right)^n=e^{xz}=\cos_zx+z\sin_zx\\ &\quad\begin{cases} z=e^{i\theta}\\ \displaystyle\cos_zx=\lim_{t\to\theta}\left[e^{x\cos t}\cos(x\sin t)-\frac{e^{x\cos t}\sin(x\sin t)}{\tan t}\right]\\ \displaystyle\sin_zx=\lim_{t\to\theta}\left[\frac{e^{x\cos t}\sin(x\sin t)}{\sin t}\right] \end{cases} \end{align*}$$


この式は


$$\begin{pmatrix}C_{n}&C_{n+1}\\S_{n}&S_{n+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&-1\\1&2\cos\theta\end{pmatrix}^n$$ あるいは $$\begin{pmatrix}S_{n+1}\\S_{n}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\cos\theta&-1\\1&0\end{pmatrix}^n\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$$ より得られる数列


$$\begin{cases} S_0=0\\ S_1=1\\ S_{n}=-(S_{n-2})+(2\cos\theta)(S_{n-1}) \end{cases}$$


を用いると、級数展開形にて書き改めることができる。


$$\begin{align*} e^{xz}=&\cos_zx+z\sin_zx\\ =&\left(\sum_{k=0}^\infty\frac{C_{k}x^k}{k!}\right)+z\left(\sum_{k=0}^\infty\frac{S_{k}x^k}{k!}\right)\\ =&\left(-\sum_{k=0}^\infty\frac{S_{k-1}x^k}{k!}\right)+z\left(\sum_{k=0}^\infty\frac{S_{k}x^k}{k!}\right)\\ \end{align*}$$


ちなみにこの数列 $$S_n$$ は $$z$$ を生成元とする第１種ガラパゴ数列と同一である。


$$z=e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$$、すなわち $$e^{xz}=e^{x(\cos\theta+i\sin\theta)}=e^{x\cos\theta+ix\sin\theta}$$ であることから、

$$e^{xz}$$ の偏角は $$\arg e^{xz}=x\sin\theta$$、絶対値は $$|e^{xz}|=e^{x\cos\theta}$$ であることがわかる。


$$\{\theta\ne N\pi\mid N\in\mathbb{Z}\}$$ においては $$|e^{xz}|=1$$ へ標準化することで直交座標系との関係性が次のように示される。

$$\begin{cases} \alpha=\arg e^{xz}=x\sin\theta\\ \begin{align*} e^{i\alpha}=&\cos\alpha+i\sin\alpha\\ =&e^{-\alpha\cot\theta}\left[\cos_z\frac{\alpha}{\sin\theta}+z\sin_z\frac{\alpha}{\sin\theta}\right]\end{align*} \end{cases}$$


導出

$$z=e^{i\theta}$$ において、 $$e^{xz}=\cos_zx+z\sin_zx$$ の両辺を直交座標形式に変換


左辺

$$\begin{align*} e^{xz}=&e^{xe^{i\theta}}\\ =&e^{x(\cos\theta+i\sin\theta)}\\ =&e^{x\cos\theta}\cdot e^{ix\sin\theta}\\ =&e^{x\cos\theta}[\cos(x\sin\theta)+i\sin(x\sin\theta)]\\ =&e^{x\cos\theta}\cos(x\sin\theta)+ie^{x\cos\theta}\sin(x\sin\theta) \end{align*}$$

右辺

$$\begin{align*} &\cos_zx+z\sin_zx\\ =&\cos_zx+(\cos\theta+i\sin\theta)\sin_zx\\ =&\left[\cos_zx+\cos\theta\sin_zx\right]+i\sin\theta\sin_zx \end{align*}$$


両辺の実部と虚部をそれぞれ比較

$$e^{x\cos\theta}\cos(x\sin\theta)=\cos_zx+\cos\theta\sin_zx$$
$$e^{x\cos\theta}\sin(x\sin\theta)=\sin\theta\sin_zx$$


$$\theta$$ が $$\pi$$ の整数倍の場合、 $$1$$ と $$e^{i\theta}$$ は線形従属となってしまうため、$$\theta$$ を $$t$$ とおいて $$t\to\theta$$ の極限として考える

$$\begin{align*} \cos_zx&=\lim_{t\to\theta}\left[e^{x\cos t}\cos(x\sin t)-\frac{e^{x\cos t}\sin(x\sin t)}{\tan t}\right]\\ \sin_zx&=\lim_{t\to\theta}\left[\frac{e^{x\cos t}\sin(x\sin t)}{\sin t}\right]\\ \end{align*}$$


級数展開形

$$+1$$ と $$z=e^{i\theta}$$ を（理論上の）基底の元とする斜交座標形式の複素数平面において、関数 $$f(x)=e^{xz}$$ を想定する。


$$\exp$$関数のマクローリン展開より


$$\displaystyle e^{xz}=\exp(xz)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(xz)^n}{n!}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}x^n$$


ガラパゴ累乗定理より、$$z$$ を生成元とする第１種ガラパゴ数列 $$\displaystyle G_n=\frac{z^n-\overline{z}^{~n}}{z-\overline{z}}=\sum_{k=0}^\infty z^{n-2k-1}$$ を用いて


$$z^n = G_nz-G_{n-1}$$


と表せるため、


$$\begin{align*} \cos_zx=&-\sum_{k=0}^\infty\frac{G_{k-1}x^k}{k!}\\ \sin_zx=&+\sum_{k=0}^\infty\frac{G_{k}x^k}{k!}\\ \end{align*} $$


$$z=\mathrm{P}=e^{2\pi i}=1$$ のとき $$\rightarrow~2\cos\theta=2$$

$$\displaystyle\cos_zx=(1-x)e^x$$
$$\displaystyle\sin_zx=xe^x$$


$$z=\mathrm{P}^\frac12=e^{\frac{1}{2}\cdotp2\pi i}=-1$$（$$1$$ の原始 $$2$$ 乗根）のとき $$\rightarrow~2\cos\theta=-2$$

$$\displaystyle\cos_zx=(1+x)e^{-x}$$
$$\displaystyle\sin_zx=xe^{-x}$$


$$z=\mathrm{P}^\frac13=e^{\frac{1}{3}\cdotp2\pi i}$$（$$1$$ の原始 $$3$$ 乗根）のとき $$\rightarrow~2\cos\theta=-1$$

$$\displaystyle\cos_zx=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{3k}}{(3k)!}-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{3k+2}}{(3k+2)!}$$
$$\displaystyle\sin_zx=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{3k+1}}{(3k+1)!}-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{3k+2}}{(3k+2)!}$$


$$z=\mathrm{P}^\frac14=e^{\frac{1}{4}\cdotp2\pi i}$$（$$1$$ の原始 $$4$$ 乗根）のとき $$\rightarrow~2\cos\theta=0$$

$$\displaystyle\cos_zx=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{4k}}{(4k)!}-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{4k+2}}{(4k+2)!}=\cos x$$
$$\displaystyle\sin_zx=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{4k+1}}{(4k+1)!}-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{4k+3}}{(4k+3)!}=\sin x$$


exps関数を用いた表現

$$\mathrm{exp}_s$$ 関数（skipped exponential 関数）を次のように定義する。

$$\displaystyle\exp_s(x)=\left(\sum_{k=0}^\infty\frac{x^{ks}}{(ks)!}\right)$$


この関数は $$\exp$$ 関数をマクローリン展開した各項のうち、$$x$$ の指数が $$s$$ の倍数である項のみによって構成される関数であり、$$s$$ 階微分することで元の関数と一致する（周階導関数）。


この関数を $$m$$ 階微分すると

$$\begin{align*} \mathrm{exp}^{(m)}_s(x) =&\frac{1}{s}\sum_{k=0}^{s-1}\left[\left(e^{\frac{m}{s}\cdot2\pi i}\right)^ke^{\left(e^{\frac{2\pi i}{s}}\right)^kx}\right]\\ =&\frac{1}{s}\sum_{k=0}^{s-1}\left[\exp\left(\frac{2km\pi}{s}i+\exp\left(\frac{2k\pi}{s}i\right)x\right)\right] \end{align*}$$

と表されるが、マクローリン展開形を考えれば単に各項の次数が落ちるだけと見ることができる。

すなわち、$$m=0$$ から $$m=s-1$$ までの $$s$$ 種類の関数を標準基底の元とすることで、あらゆる $$s$$ 階の周階導関数を構成可能である。


ガラパゴ三角関数は $$z=e^{i\theta}$$ が実数ではなく、かつ、$$\frac{\theta}{2\pi}$$ が有理数のときに周階導関数となるため、$$\mathrm{exp}_s$$ 関数の $$m$$ 階導関数を用いて以下のように示すことが可能である。


$$z=\mathrm{P}^{\frac13}=e^{\frac{2\pi}3i}$$ の場合 \begin{array}{c} +\cos_{z}x &=& \exp_3^{(0)}x-\exp_3^{(1)}x &\leftarrow[+1,~~0~,-1]\\ -\sin_{z}x &=& \exp_3^{(1)}x-\exp_3^{(2)}x &\leftarrow[~~0~,-1,+1]\\ -(\sin_{z}x)' &=& \exp_3^{(2)}x-\exp_3^{(0)}x &\leftarrow[-1,+1,~~0~]\\ \\ -\cos_{z}x &=& -\exp_3^{(0)}x+\exp_3^{(1)}x &\leftarrow[-1,~~0~,+1]\\ +\sin_{z}x &=& -\exp_3^{(1)}x+\exp_3^{(2)}x &\leftarrow[~~0~,+1,-1]\\ +(\sin_{z}x)' &=& -\exp_3^{(2)}x+\exp_3^{(0)}x &\leftarrow[+1,-1,~~0~]\\ \end{array}


$$z=\mathrm{P}^{\frac14}=e^{\frac{2\pi}4i}=e^{\frac{\pi}2i}$$ の場合 \begin{array}{c} +\cos x &=& +\cos_zx &=& \exp_4^{(0)}x-\exp_4^{(2)}x &\leftarrow[+1,~~0~,-1,~~0~]\\ -\sin x &=& -\sin_zx &=& \exp_4^{(1)}x-\exp_4^{(3)}x &\leftarrow[~~0~,-1,~~0~,+1]\\ -\cos x &=& -\cos_zx &=& \exp_4^{(2)}x-\exp_4^{(0)}x &\leftarrow[-1,~~0~,+1,~~0~]\\ +\sin x &=& +\sin_zx &=& \exp_4^{(3)}x-\exp_4^{(1)}x &\leftarrow[~~0~,+1,~~0~,-1]\\ \end{array}


$$z=\mathrm{P}^{\frac15}=e^{\frac{2\pi}5i}$$ の場合（$$\phi'=\phi^{-1}=\frac{\sqrt5-1}2$$） \begin{array}{c} +\cos_zx &=& +\exp_5^{(0)}x-\exp_5^{(3)}x-\phi'\exp_5^{(2)}x+\phi'\exp_5^{(1)}x &\leftarrow[+1~,~~0~~,-1~,-\phi',+\phi']\\ -\sin_zx &=& +\exp_5^{(1)}x-\exp_5^{(4)}x-\phi'\exp_5^{(3)}x+\phi'\exp_5^{(2)}x &\leftarrow[~~0~~,-1~,-\phi',+\phi',+1~]\\ -(\sin_zx)' &=& +\exp_5^{(2)}x-\exp_5^{(5)}x-\phi'\exp_5^{(4)}x+\phi'\exp_5^{(3)}x &\leftarrow[-1~,-\phi',+\phi',+1~,~~0~~]\\ -(\sin_zx)'' &=& +\exp_5^{(3)}x-\exp_5^{(0)}x-\phi'\exp_5^{(5)}x+\phi'\exp_5^{(4)}x &\leftarrow[-\phi',+\phi',+1~,~~0~~,-1~]\\ -(\sin_zx)''' &=& +\exp_5^{(4)}x-\exp_5^{(1)}x-\phi'\exp_5^{(0)}x+\phi'\exp_5^{(5)}x &\leftarrow[+\phi',+1~,~~0~~,-1~,-\phi']\\ \\ -\cos_zx &=& -\exp_5^{(0)}x+\exp_5^{(3)}x+\phi'\exp_5^{(2)}x-\phi'\exp_5^{(1)}x &\leftarrow[-1~,~~0~~,+1~,+\phi',-\phi']\\ +\sin_zx &=& -\exp_5^{(1)}x+\exp_5^{(4)}x+\phi'\exp_5^{(3)}x-\phi'\exp_5^{(2)}x &\leftarrow[~~0~~,+1~,+\phi',-\phi',-1~]\\ +(\sin_zx)' &=& -\exp_5^{(2)}x+\exp_5^{(0)}x+\phi'\exp_5^{(4)}x-\phi'\exp_5^{(3)}x &\leftarrow[+1~,+\phi',-\phi',-1~,~~0~~]\\ +(\sin_zx)'' &=& -\exp_5^{(3)}x+\exp_5^{(1)}x+\phi'\exp_5^{(0)}x-\phi'\exp_5^{(4)}x &\leftarrow[+\phi',-\phi',-1~,~~0~~,+1~]\\ +(\sin_zx)''' &=& -\exp_5^{(4)}x+\exp_5^{(2)}x+\phi'\exp_5^{(1)}x-\phi'\exp_5^{(0)}x &\leftarrow[-\phi',-1~,~~0~~,+1~,+\phi']\\ \end{array}


$$z=\mathrm{P}^{\frac16}=e^{\frac{2\pi}6i}=e^{\frac{\pi}3i}$$ の場合 \begin{array}{c} +\cos_{z}x &=& \exp_6^{(0)}x-\exp_6^{(4)}x-\exp_6^{(3)}x+\exp_6^{(1)}x &\leftarrow[+1,~~0~,-1,-1,~~0~,+1]\\ -\sin_{z}x &=& \exp_6^{(1)}x-\exp_6^{(5)}x-\exp_6^{(4)}x+\exp_6^{(2)}x &\leftarrow[~~0~,-1,-1,~~0~,+1,+1]\\ -(\sin_{z}x)' &=& \exp_6^{(2)}x-\exp_6^{(0)}x-\exp_6^{(5)}x+\exp_6^{(3)}x &\leftarrow[-1,-1,~~0~,+1,+1,~~0~]\\ \\ -\cos_{z}x &=& \exp_6^{(3)}x-\exp_6^{(1)}x-\exp_6^{(0)}x+\exp_6^{(4)}x &\leftarrow[-1,~~0~,+1,+1,~~0~,-1]\\ +\sin_{z}x &=& \exp_6^{(4)}x-\exp_6^{(2)}x-\exp_6^{(1)}x+\exp_6^{(5)}x &\leftarrow[~~0~,+1,+1,~~0~,-1,-1]\\ +(\sin_{z}x)' &=& \exp_6^{(5)}x-\exp_6^{(3)}x-\exp_6^{(2)}x+\exp_6^{(0)}x &\leftarrow[+1,+1,~~0~,-1,-1,~~0~]\\ \end{array}

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