ガラパゴ数列

ガラパゴ数列（ガラパゴ数列）とは、複素数 $$z$$ を累乗した際に虚部と実部がそれぞれ何倍されるのかを表す実数列である。このときの $$z$$ を生成元といい、虚部側の数列を第１種ガラパゴ数列、実部側の数列を第２種ガラパゴ数列という。

数式を用いて表現するならば、生成元を $$z$$ とする第１種ガラパゴ数列を $$G_n$$、第２種ガラパゴ数列を $$G'_n$$ として

$$z^n=[\mathrm{Im}~z^n]~i+[\mathrm{Re}~z^n]=[G_n\cdot\mathrm{Im}~z]~i+[G'_n\cdot\mathrm{Re}~z]$$

$$\quad\begin{cases}\mathrm{Im}~z^n=G_n\cdotp\mathrm{Im}~z\\[4pt]\mathrm{Re}~z^n=G'_n\cdotp\mathrm{Re}~z\end{cases}$$ または $$\begin{pmatrix}\mathrm{Im}~z^n\\\mathrm{Re}~z^n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\mathrm{Im}~z&0\\0&\mathrm{Re}~z\end{pmatrix}\begin{pmatrix}G_n\\G'_n\end{pmatrix}$$

より $$\quad\begin{cases}G_n=\frac{\mathrm{Im}~z^n}{\mathrm{Im}~z}\\G'_n=\frac{\mathrm{Re}~z^n}{\mathrm{Re}~z}\end{cases}$$

をそれぞれ満たす数列ということになる。これらの数列は、斜交座標系における幾何学的な性質を簡潔に表現することを主目的として みゆ によって導出された。

概要

第１種ガラパゴ数列

複素数 $$z$$ を生成元とする第１種ガラパゴ数列の一般項 $$G_n$$ は次のように定義される。

$$\displaystyle G_n=\frac{\mathrm{Im}(z^n)}{\mathrm{Im}(z)}=\frac{z^n-\overline{z}^{~n}}{z-\overline{z}}=\sum_{k=0}^{n-1}\overline{z}^{~k}\cdot z^{n-k-1}$$

特に $$|z|=1$$ のとき、$$\displaystyle G_n=\frac{\sin(n~\mathrm{Arg}~z)}{\sin(\mathrm{Arg}~z)}=\sum_{k=0}^{n-1}z^{n-2k-1}$$

この数列は、次の三項間漸化式より導出することができる。

$$\begin{cases} G_0=0\\ G_1=1\\ G_n=(z+\overline{z})G_{n-1}-(z\cdotp\overline{z})G_{n-2} \end{cases}$$ または $$\begin{pmatrix}G_{n+1}\\G_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}z+\overline{z}&-z\cdotp\overline{z}\\1&0\end{pmatrix}^n\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$$

第２種ガラパゴ数列

複素数 $$z$$ を生成元とする第２種ガラパゴ数列の一般項 $$G'_n$$ は次のように定義される。

$$\displaystyle G'_n=\frac{\mathrm{Re}(z^n)}{\mathrm{Re}(z)}=\frac{z^n+\overline{z}^{~n}}{z+\overline{z}}~\underbrace{\left(=\sum_{k=0}^{2m}(-\overline{z})^{~k}\cdot z^{2m-k}\right)}_{n=2m+1~のとき}$$

特に $$|z|=1$$ のとき、$$\displaystyle G'_n=\frac{\cos(n~\mathrm{Arg}~z)}{\cos(\mathrm{Arg}~z)}~\underbrace{\left(=\sum_{k=0}^{2m}(-1)^{~k}\cdot z^{2(m-k)}\right)}_{n=2m+1~のとき}$$

この数列は、次の三項間漸化式より導出することができる。

$$\begin{cases} G'_0=\frac{2}{z+\overline{z}}\\ G'_1=1\\ G'_n=(z+\overline{z})G'_{n-1}-(z\cdotp\overline{z})G'_{n-2} \end{cases}$$ または $$\begin{pmatrix}G'_{n+1}\\G'_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}z+\overline{z}&-z\cdotp\overline{z}\\1&0\end{pmatrix}^n\begin{pmatrix}1\\\frac{2}{z+\overline{z}}\end{pmatrix}$$

漸化式の検証

三項間漸化式

$$G_{n+2}=(z+\overline{z})G_{n+1}-(z\cdotp\overline{z})G_{n}$$

を特性方程式 $$x^2-(z+\overline{z})x+(z\cdotp\overline{z})=0$$ の解 $$z$$ と $$\overline{z}$$ より

次のように連立させる。

$$\begin{cases} G_{n+2}-\overline{z}G_{n+1}=z(G_{n+1}-\overline{z}G_n)&\cdots~(1)\\ G_{n+2}-zG_{n+1}=\overline{z}(G_{n+1}-zG_n)&\cdots~(2)\\ \end{cases}$$

・第１種ガラパゴ数列の場合

$$\begin{cases} G_0=0\\ G_1=1\\ \end{cases}$$ より

$$\begin{cases} G_{n+1}-\overline{z}G_n=z^n(G_1-\overline{z}G_0)=z^n&\cdots~(1)'\\ G_{n+1}-zG_n=\overline{z}^{~n}(G_1-zG_0)=\overline{z}^{~n}&\cdots~(2)'\\ \end{cases}$$

$$(1)'$$ の両辺より $$(2)'$$ の両辺をそれぞれ引いて

$$\begin{align*} (z-\overline{z})G_n=&(z^n-\overline{z}^{~n})\\\\ \therefore~G_n=&\displaystyle\frac{z^n-\overline{z}^{~n}}{z-\overline{z}}=\sum_{k=0}^{n-1}\overline{z}^{~k}\cdot z^{n-k-1} \end{align*}$$

また、$$|z|=1$$ のとき $$|z^n|=|\overline{z}^{~n}|=1^n=1$$ であるため、

$$\begin{align*} z^n=&\cos\left(n~\mathrm{Arg}~z\right)+i\sin\left(n~\mathrm{Arg}~z\right)\\ \overline{z}^{~n}=&\cos\left(n~\mathrm{Arg}~z\right)-i\sin\left(n~\mathrm{Arg}~z\right)\\ z^n-\overline{z}^{~n}=&2i\sin\left(n~\mathrm{Arg}~z\right) \end{align*}$$

といえる。従って

$$G_n=\displaystyle\frac{z^n-\overline{z}^{~n}}{z-\overline{z}}=\frac{2i\sin\left(n~\mathrm{Arg}~z\right)}{2i\sin\left(\mathrm{Arg}~z\right)}=\frac{\sin\left(n~\mathrm{Arg}~z\right)}{\sin\left(\mathrm{Arg}~z\right)}$$

が導かれる。

・第２種ガラパゴ数列の場合

$$\begin{cases} G'_0=\frac{2}{z+\overline{z}}\\ G'_1=1\\ \end{cases}$$ より

$$\begin{cases} G'_{n+1}-\overline{z}G'_n=z^n(G'_1-\overline{z}G_0)=z^n\left(1-\frac{2\overline{z}}{z+\overline{z}}\right)=\frac{z^n(z-\overline{z})}{z+\overline{z}}&\cdots~(1)''\\ G'_{n+1}-zG'_n=\overline{z}^{~n}(G'_1-zG_0)=\overline{z}^{~n}\left(1-\frac{2z}{z+\overline{z}}\right)=\frac{\overline{z}^{~n}(\overline{z}-z)}{z+\overline{z}}&\cdots~(2)''\\ \end{cases}$$

$$(1)''$$ の両辺より $$(2)''$$ の両辺をそれぞれ引いて

$$\begin{align*} (z-\overline{z})G'_n=&\frac{(z^n+\overline{z}^n)(z-\overline{z})}{z+\overline{z}}\\\\ \therefore~G'_n=&\displaystyle\frac{z^n+\overline{z}^{~n}}{z+\overline{z}}\end{align*}$$

　$$\huge($$$$n$$ が奇数のとき展開可能 $$\displaystyle G'_n=\sum_{k=0}^{n-1}(-\overline{z})^{~k}\cdot z^{n-k-1}\huge)$$

また、$$|z|=1$$ のとき $$|z^n|=|\overline{z}^{~n}|=1^n=1$$ であるため、

$$\begin{align*} z^n=&\cos\left(n~\mathrm{Arg}~z\right)+i\sin\left(n~\mathrm{Arg}~z\right)\\ \overline{z}^{~n}=&\cos\left(n~\mathrm{Arg}~z\right)-i\sin\left(n~\mathrm{Arg}~z\right)\\ z^n+\overline{z}^{~n}=&2\cos\left(n~\mathrm{Arg}~z\right) \end{align*}$$

といえる。従って

$$G'_n=\displaystyle\frac{z^n+\overline{z}^{~n}}{z+\overline{z}}=\frac{2\cos\left(n~\mathrm{Arg}~z\right)}{2\cos\left(\mathrm{Arg}~z\right)}=\frac{\cos\left(n~\mathrm{Arg}~z\right)}{\cos\left(\mathrm{Arg}~z\right)}$$

が導かれる。

ガラパゴ数列の相互定理

$$z$$ を生成元とする第１種ガラパゴ数列 $$G_n$$ と第２種ガラパゴ数列 $$G'_n$$ の間には次のような関係性がある。

$$\begin{align*} G_n &=\frac{z^n-\overline{z}^{~n}}{z-\overline{z}}\\ &=\frac{(z^n-\overline{z}^{~n})(z+\overline{z})}{(z-\overline{z})(z+\overline{z})}\\ &=\frac{z^{n+1}+z^n\cdotp\overline{z}-\overline{z}^{~n}\cdotp z-\overline{z}^{~n+1}}{(z-\overline{z})(z+\overline{z})}\\ &=\frac{z^{n+1}-z^n\cdotp\overline{z}+\overline{z}^{~n}\cdotp z-\overline{z}^{~n+1}}{(z-\overline{z})(z+\overline{z})}+\frac{2z^n\cdotp\overline{z}-2\overline{z}^{~n}\cdotp z}{(z-\overline{z})(z+\overline{z})}\\ &=\frac{(z^n+\overline{z}^{~n})(z-\overline{z})}{(z-\overline{z})(z+\overline{z})}+\frac{2(z\cdotp\overline{z})(z^{n-1}-\overline{z}^{~n-1})}{(2\mathrm{Re}~z)(z-\overline{z})}\\ &=\frac{z^n+\overline{z}^{~n}}{z+\overline{z}}+\frac{2(z\cdotp\overline{z})}{2\mathrm{Re}~z}\cdot\frac{z^{n-1}-\overline{z}^{~n-1}}{z-\overline{z}}\\ &=G'_n+\frac{2|z|^2}{2\mathrm{Re}~z}\cdot G_{n-1}\\ \end{align*}$$

$$\therefore~\mathrm{Re}~z\cdot(G_n-G'_n)=|z|^2\cdot G_{n-1}~\begin{cases}G_n&=G'_n+\frac{|z|^2}{\mathrm{Re}~z}\cdot G_{n-1}\\G'_n&=G_n-\frac{|z|^2}{\mathrm{Re}~z}\cdot G_{n-1}\end{cases}$$

このような相互関係をガラパゴ数列の相互定理という。

応用例

ガラパゴ累乗定理

ガラパゴ数列の相互定理より

$$\begin{align*} G_n&=G'_n+\frac{|z|^2}{\mathrm{Re}~z}\cdot G_{n-1}\\ G_n\cdot\mathrm{Re}~z&=G'_n\cdot\mathrm{Re}~z+|z|^2\cdot G_{n-1}\\ G_n(z-\mathrm{Im}~z~i)&=G'_n\cdot\mathrm{Re}~z+|z|^2\cdot G_{n-1}\\ [G_n] z-[G_n\cdot\mathrm{Im}~z]~i&=[G'_n\cdot\mathrm{Re}~z]+[|z|^2\cdot G_{n-1}]\\ [G_n] z+[-|z|^2\cdot G_{n-1}]&=[G_n\cdot\mathrm{Im}~z]~i+[G'_n\cdot\mathrm{Re}~z]\\ \end{align*}$$

と変形できるが、この右辺はガラパゴ数列の定義より $$z^n$$ である。したがって

$$z^n=\underbrace{[G_n]~z+[(-|z|^2)G_{n-1}]}_{1~と~z~を基底の元とする斜交座標}=[\underbrace{[G_n\cdot\mathrm{Im}~z]~i+G'_n\cdot\mathrm{Re}~z]}_{1~と~i~を基底の元とする直交座標}$$

というように $$z^n$$ は $$1$$ と $$z$$ を基底の元とする斜交座標系と相互変換することができる。

ガラパゴ数列の各項は三項間漸化式にみるように $$z+\overline{z}=2\mathrm{Re}~z$$ と $$z\cdot\overline{z}=|z|^2$$ を元とする多項式で表現可能であるため、この $$z$$ の一次式の係数もまた同様といえる。このような $$z$$ の累乗に関する定理をガラパゴ累乗定理という。（詳しくは参照先）

ちなみに、この $$z$$ の一次式の係数を $$S_n=G_n$$、$$C_n=(-z\cdotp\overline{z})G_{n-1}$$ と表すならば、それぞれの数列は次のように行列の積でも表現可能である。

$$\begin{align*} \begin{pmatrix}C_n&C_{n+1}\\S_n&S_{n+1}\end{pmatrix} =&\begin{pmatrix}0&-z\cdotp\overline{z}\\1&z+\overline{z}\end{pmatrix}^n\\ =&\displaystyle\frac{1}{z-\overline{z}}\begin{pmatrix}-\overline{z}&-z\\1&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}z^n&0\\0&\overline{z}^{~n}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&z\\-1&-\overline{z}\end{pmatrix}\\ =&\displaystyle\frac{1}{z-\overline{z}}\begin{pmatrix}-(z\cdotp\overline{z})(z^{n-1}-\overline{z}^{~n-1})&-(z\cdotp\overline{z})(z^n-\overline{z}^{~n})\\z^n-\overline{z}^{~n}&z^{n+1}-\overline{z}^{~n+1}\end{pmatrix}\\ =&\displaystyle\frac{1}{2\mathrm{Im}~z}\begin{pmatrix}-(|z|^2)(2\mathrm{Im}~z^{n-1})&-(|z|^2)(2\mathrm{Im}~z^n)\\2\mathrm{Im}~z^n&2\mathrm{Im}~z^{n+1}\end{pmatrix}\\ =&\displaystyle\frac{1}{\mathrm{Im}~z}\begin{pmatrix}-(|z|^2)(\mathrm{Im}~z^{n-1})&-(|z|^2)(\mathrm{Im}~z^n)\\\mathrm{Im}~z^n&\mathrm{Im}~z^{n+1}\end{pmatrix}\\ \end{align*}$$

この行列は、$$1$$ と $$z$$ を基底の元とする斜交座標空間において $$z$$ と $$z^2=z\cdot(-\overline{z}+z+\overline{z})=-(z\cdot\overline{z})+z(z+\overline{z})$$ すなわち $$\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}$$ と $$\begin{pmatrix}-z\cdot\overline{z}\\z+\overline{z}\end{pmatrix}$$ を新たな基底の元とする空間 $$\begin{pmatrix}0&-z\cdot\overline{z}\\1&z+\overline{z}\end{pmatrix}$$ を累乗することで自己相似空間を作り、結果的に $$\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}$$ すなわち $$z$$ が累乗されていく様を表している。

ガラパゴ三角関数のマクローリン展開

ガラパゴ三角関数 とは、$$+1$$ と $$z=e^{i\theta}$$ を理論上の基底の元（$$z$$ が実数でも $$+1$$ とは独立した元とみなす）とする斜交座標系において、 極座標 $$e^{xz}$$ を基底の元の線形結合で表現したときの各元の係数を得る関数であり、第１種ガラパゴ数列 $$G_n$$ を用いて次のように表すことができる。

$$\begin{align*} \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}nz\right)^n=e^{xz}=&\sum_{k=0}^\infty\frac{z^k}{k!}x^k=\sum_{k=0}^\infty\frac{G_kz-G_{k-1}}{k!}x^k\\ =&\cos_zx+z\sin_zx=-\sum_{k=0}^\infty\frac{G_{k-1}}{k!}x^k+z\sum_{k=0}^\infty\frac{G_k}{k!}x^k \end{align*}$$

特に $$z=i$$ であるとき、上式はオイラーの公式に一致する。この場合の第一種ガラパゴ数列は

$$\displaystyle~G_n=\frac{i^n-(-i)^n}{i-(-i)}=\frac{i^{n-1}+(-i)^{n-1}}{2}$$

と表せるため $$\{G_0,~G_1,~G_2,~G_3,~\cdots\}=\{0,~1,~0,~-1,~\cdots\}$$ という４項周期となり、既知のマクローリン展開形に一致することを確認できる。

ちなみに、$$\cos_zx$$ と $$\sin_zx$$ のマクローリン展開係数に現れる $$-G_{n-1}$$ と $$G_n$$ をそれぞれ $$C_n=-G_{n-1}$$、$$S_n=G_n$$ と表すならば、それぞれの数列は次のように行列の積でも表現可能である。

$$\begin{align*} \begin{pmatrix}C_n&C_{n+1}\\S_n&S_{n+1}\end{pmatrix} =&\begin{pmatrix}0&-1\\1&z-\overline{z}\end{pmatrix}^n\\ =&\displaystyle\frac{1}{z-\overline{z}}\begin{pmatrix}-z^{-1}&-z\\1&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}z^n&0\\0&z^{-n}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&z\\-1&-z^{-1}\end{pmatrix}\\ =&\displaystyle\frac{1}{z-\overline{z}}\begin{pmatrix}-(z^{n-1}-\overline{z}^{~n-1})&-(z^n-\overline{z}^{~n})\\z^n-\overline{z}^{~n}&z^{n+1}-\overline{z}^{~n+1}\end{pmatrix}\\ =&\displaystyle\frac{1}{2i\sin\left(\mathrm{Arg}~z\right)}\begin{pmatrix}-2i\sin\left[(n-1)\mathrm{Arg}~z\right]&-2i\sin\left(n~\mathrm{Arg}~z\right)\\2i\sin\left(n~\mathrm{Arg}~z\right)&2i\sin\left[(n+1)\mathrm{Arg}~z\right]\end{pmatrix}\\ =&\displaystyle\frac{1}{\sin\left(\mathrm{Arg}~z\right)}\begin{pmatrix}-\sin\left[(n-1)\mathrm{Arg}~z\right]&-\sin\left(n~\mathrm{Arg}~z\right)\\\sin\left(n~\mathrm{Arg}~z\right)&\sin\left[(n+1)\mathrm{Arg}~z\right]\end{pmatrix}\\ \end{align*}$$

フィボナッチ数列をはじめとする貴金属数列

自然数 $$k$$ に対して、第 $$k$$ 貴金属数は２次方程式 $$x^2-kx-1=0$$ の正の解 $$\frac{k+\sqrt{k^2+4}}2$$ である。

第 $$k$$ 貴金属数をガラパゴ数列の生成元 $$z$$ とする場合、$$z$$ は実数であるためその複素共役は自分自身に一致（$$z=\overline{z}$$）する。

ここで、複素共役同士の関係というのは

$$\begin{align*} z^2 &=z\cdot z\\ &=(z+\overline{z}-\overline{z})\cdot z\\ &=(z+\overline{z})\cdot z-\overline{z}\cdot z\\ &=(z+\overline{z})\cdot z-(\overline{z}\cdot z)\\ \end{align*}$$

$$z^2-\underbrace{(z+\overline{z})}_{2\mathrm{Re}~z}\cdot z+\underbrace{(\overline{z}\cdot z)}_{|z|^2}=0$$

を $$z$$ の２次方程式とみなしたときの共役解 $$z$$ と $$\overline{z}$$ の関係とみることができる。そこで、貴金属数の定義にみる $$x^2-kx-1=0$$ の共役解の関係を広義の複素共役とみなせば次のように解釈することができる。

$$\begin{cases} z=\displaystyle&\frac{k+\sqrt{k^2+4}}2&\left(=\frac{k}2-\sqrt{-\left[\left(\frac{k}2\right)^2+1\right]}~i\right)\\ \overline{z}=\displaystyle&\frac{k-\sqrt{k^2+4}}2&\left(=\frac{k}2+\sqrt{-\left[\left(\frac{k}2\right)^2+1\right]}~i\right)\\ \end{cases}$$

このとき第１種と第２種のガラパゴ数列はそれぞれ第１種と第２種の第 $$k$$ 貴金属数列となり、それらの数列の隣接２項の比の極限は第 $$k$$ 貴金属数 $$\frac{k+\sqrt{k^2+4}}2$$ に収束する。

例えば第１貴金属数である黄金数 $$\phi=\frac{1+\sqrt{5}}2$$ を生成元とする場合、

$$\begin{cases} z=\displaystyle&\frac{1+\sqrt{5}}2&\left(=\frac{1}2-\sqrt{-\left[\left(\frac{1}2\right)^2+1\right]}~i\right)=\phi\\ \overline{z}=\displaystyle&\frac{1-\sqrt{5}}2&\left(=\frac{1}2+\sqrt{-\left[\left(\frac{1}2\right)^2+1\right]}~i\right)=-\phi^{-1}\\ \end{cases}$$

であり、第１種ガラパゴ数列 $$G_n$$ と第２種ガラパゴ数列 $$G'_n$$ は

$$\begin{cases} \displaystyle G_n=\frac{\phi^n-(-\phi^{-1})^n}{\phi-(-\phi^{-1})}=\sum_{k=0}^\infty(-1)^k\cdotp\phi^{n-2k-1}&=F_n~\cdots~フィボナッチ数\\ \displaystyle G'_n=\frac{\phi^n+(-\phi^{-1})^n}{\phi+(-\phi^{-1})}&=L_n~\cdots~リュカ数\\ \end{cases}$$

となる。（いずれの数列も隣接２項の比の極限は $$\phi=\frac{1+\sqrt{5}}2$$ に収束する。）

ちなみにこのとき、黄金数の虚部と実部は次のように解釈されているため、

$$\begin{cases} \mathrm{Im}~\phi=-\sqrt{-\left[\left(\frac12\right)^2+1\right]}=-\frac{\sqrt{-5}}2\\ \mathrm{Re}~\phi=\frac12 \end{cases}$$

ガラパゴ数列の定義に従って黄金数の累乗を表現すれば

$$\begin{align*} \phi^n &=\left[F_n\cdot\mathrm{Im}~\phi\right]~i+\left[L_n\cdot\mathrm{Re}~\phi\right]\\ &=\left[F_n\cdot\frac{-\sqrt{-5}}2\right]~i+\left[L_n\cdot\frac12\right]\\ &=\frac{F_n\sqrt5+L_n}2 \end{align*}$$

と表される。また、

$$\begin{align*} \frac{|z|^2}{\mathrm{Re}~z} &=\frac{\phi\cdot\overline{\phi}}{\mathrm{Re}~\phi}\\ &=\frac{\frac{1+\sqrt5}2\cdot\frac{1-\sqrt{5}}2}{\frac12}\\ &=-2 \end{align*}$$

であるため、ガラパゴ数列の相互定理によって

$$\begin{cases} F_n=L_n+\frac{|z|^2}{\mathrm{Re}~\phi}\cdot F_{n-1}=L_n-2F_{n-1}\\ L_n=F_n-\frac{|z|^2}{\mathrm{Re}~\phi}\cdot F_{n-1}=F_n+2F_{n-1} \end{cases}$$

という相互関係を見出すことができる。