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一般の微分法では、定数は微分すると0になるが、素微分では、定数は素微分しても0になるとは限らない。一般の微分法では、定数は微分すると$$0$$になるが、素微分では、定数は素微分しても$$0$$になるとは限らない。
素微分完全数まず、素微分完全数のほかに$$2$$以上の素因数に持つ数は、明らかに素微分過剰数である。 よって、素微分完全数$$a$$を$$a=p^kn$$($$pk$$は自然数、$$n$$は素数では素微分完全数でない自然数で$$p$$と$$n$$は互いに素な自然数は互いに素)と書くと
素微分
,'''素微分'''(そびぶん、'''Arithmetic derivative''')とは、数値に対して定義された微分の類似物である。
そのため、一般の微分法とは異なる手法であることに注意していただきたい。
:$$\displaystyle n=\prod_{i=1}^{\infty}p_i^{q_i}$$
と素因数分解する。($$p_{i}$$は$$i$$番目に小さい素数)
このとき$$n$$の素微分$$n'$$を
:$$\begin{align*}
14'=&(2\times 7)'\\
=&2'14\times 7 \left(\frac{1}{2}+2\times frac{1}{7'}\right)\\
=&7+2\\
=&9
p'=&1\\
(ab)'=&a'b+ab'\\
(abcd\cdots)' =& a'bcd\cdots + ab'cd\cdots + abc'd\cdots + abcd'\cdots + \cdots \\(a^bn)'=&(a \cdot a \cdot a \cdot \cdots)' \\=& a'a \cdot a \cdots + a \cdot a' \cdot a \cdots + a \cdot a \cdot a' \cdots + \cdots \\=& na^{n-1}a' \\((abc\cdots)^n)' =& (a^nb^nc^n\cdots)'\\=&n a' a^{n-1} b^n c^n \cdots + n b' a^n b^{n-1} c^n \cdots + n c'baa^n b^n c^{n-1} \cdots + \cdots \\=&n a^{n-1} b^{n-1}c^{m-1}\cdots (a'bc \cdots + ab'c \cdots + abc' \cdots + \cdots)\\=&n(abc\cdots)^{n-1}(abc\cdots)'
\end{align*}$$
\end{align*}$$
などが分かる。
===積・商の素微分===
$$\begin{align*}
& \left[\left(\prod_{k=1}^n {p_k}^{q_k}\right)\left(\prod_{k={n+1}}^{\infty} {p_k}^{q_k}\right)\right]' = \left(\prod_{k=1}^n {p_k}^{q_k}\right)\left(\prod_{k={n+1}}^{\infty} {p_k}^{q_k}\right)\left(\sum_{j=1}^n \frac{q_j}{p_j} + \sum_{j={n+1}}^{\infty} \frac{q_j}{p_j} \right) \\
=& \left(\prod_{k=1}^n {p_k}^{q_k}\right)\left(\prod_{k={n+1}}^{\infty} {p_k}^{q_k}\right)\left(\sum_{j=1}^n \frac{q_j}{p_j} \right) + \left(\prod_{k=1}^n {p_k}^{q_k}\right)\left(\prod_{k={n+1}}^{\infty} {p_k}^{q_k}\right)\left(\sum_{j={n+1}}^{\infty} \frac{q_j}{p_j} \right) = \left(\prod_{k=1}^n {p_k}^{q_k}\right)'\left(\prod_{k={n+1}}^{\infty} {p_k}^{q_k}\right) + \left(\prod_{k=1}^n {p_k}^{q_k}\right)\left(\prod_{k={n+1}}^{\infty} {p_k}^{q_k}\right)' \\
=& \frac{\left(\prod_{k=1}^n {p_k}^{q_k}\right)\left(\prod_{k={n+1}}^{\infty} {p_k}^{-q_k}\right)\left(\sum_{j=1}^n \frac{q_j}{p_j} \right) - \left(\prod_{k=1}^n {p_k}^{q_k}\right)\left(\prod_{k={n+1}}^{\infty} {p_k}^{-q_k}\right)\left(\sum_{j={n+1}}^{\infty} \frac{-q_j}{p_j} \right)}{\left(\prod_{k={n+1}}^{\infty} {p_k}^{-q_k}\right)^2} = \frac{\left(\prod_{k=1}^n {p_k}^{q_k}\right)'\left(\prod_{k={n+1}}^{\infty} {p_k}^{-q_k}\right) - \left(\prod_{k=1}^n {p_k}^{q_k}\right)\left(\prod_{k={n+1}}^{\infty} {p_k}^{-q_k}\right)'}{\left(\prod_{k={n+1}}^{\infty} {p_k}^{-q_k}\right)^2}
\end{align*}$$
== 拡張 ==
を$$a$$の'''対数素微分(関数)'''(arithmetically logarithmic (function))という。
便宜上$$\text{ld}(0)=\infty$$とする。
この関数は完全加法的(つまり$$\text{ld}(ab)=\text{ld}(a)+\text{ld}(b)$$を満たす)である。
(証明始)
:$$\begin{align*}
:$$1-\text{ld}(n)\geqq 0\cdots(1)$$
が成り立ち、$$n\in \mathbb{N}$$から$$\text{ld}(n)\geqq 0$$となるからとなり、仮定より$$n$$は素微分完全数でなく、$$n$$は$$p$$を約数に持たないので$$(1)$$と合わせて$$\text{ld}(n)=0$$となって$$n=1$$が分かる。
よって$$p=k,n=1$$より、$$a=p^p$$となる。
と書いたときに一意性(素底因数分解の一意性)が成り立つような$$p_i$$を素底という。
例えば$$2,6$$が素底だった時、$$3$$は$$2^{-1}\times 6=3=6$$と表わされるため素底でない。
特に記述がない場合、素底は素数とする。
このとき、$$n$$の(拡張した)素微分を
:$$\displaystyle n'=\left(\prod_{i=1}^{\infty}p_i^{q_i}\right)\left(\sum_{j=1}^{\infty}\frac{q_i}{p_i}\right)= \sum_{j=1}^{\infty} q_j \cdot \frac{\prod_{k=1}^{\infty}{p_k}^{q_i}}{p_j}$$
と定義する。
これにより、$$1' = (p^0)' = 1 \cdot \frac{0}{p} = 0$$と定まる。便宜上、絶対値が$$1$$であるような数の素微分値も$$0$$とすることで多元数に対する素微分を定義できる。
例: $$(3+4i)'=(|3+4i|e^{iArg(3+4i)})'=5'e^{i\mathrm{Arg}(3+4i)}+0=e^{i\mathrm{Arg}(3+4i)}=\frac{3}{5}+\frac{4}{5}i$$
=== 例 ===
(補題証明終)
いま$$2$$から$$p(\geqq5)$$までを全て掛け合わせた素数階乗を$$P$$とする。
:$$P=2\times 3\times \ldots \times p$$
同様に$$P'$$は$$3,5,\ldots ,p$$の倍数でない。
そして$$P$$は合成数より、$$P'$$は$$1$$より大きいから少なくとも1つの素因数をもつ。
また、$$\text{ld}(P)=\frac12+\frac13+\ldots+\frac1p≧\frac12+\frac13+\frac15>1$$なので$$P'>P$$。
ゆえに$$P'$$は$$p$$より大きい素因数をもつ。
これよりいくらでも大きい素数を作れるので素数は無限個存在することが示された。
== 未解決問題 ==
=== 素微分友愛数 素微分友愛数の存在 ===
$$n,m\in \mathbb{N}$$とする。
現在、素微分完全数以外の素微分友愛数は見つかっておらず、存在するかしないかの証明はなされていない。
=== 素微分社交数の存在 ===
$$n$$は$$3$$以上の自然数、$$k$$を$$1$$以上$$n$$未満の任意の整数として、$$a_k\in \mathbb{N}$$とする。
:$$\begin{align*}
{a_k}'=&a_{k+1}\\
{a_n}'=&a_1\\
\end{align*}$$
を満たす相異なる自然数$$a_1,\ldots ,a_n$$の組を'''素微分社交数'''とする。
現在、素微分完全数以外の素微分社交数は見つかっておらず、存在するかしないかの証明はなされていない。
