差分

'''ガラパゴ累乗定理'''（ガラパゴるいじょうていり）とは、複素数（多元数）（ガラパゴるいじょうていり）とは、複素数 $$z$$ の累乗は $$2r=z+\operatornamebar{Rez}(z)$$ と $$l=-z\cdotp\bar{z}=-|z|^2$$ を用いた漸化式より得られる数列 $$A_n$$ を用いて $$+1$$ と $$z$$ の一次結合の形で表せるという定理である。

複素数 $$z$$ の 整数 $$n$$ 乗は、$$r=z+\bar{z}=2\mathrm{Re}(z)$$ と $$l=-z\cdotp\bar{z}=-|z|^2$$ を用いて次のように表せる。

:$$z^n=(A_{n})z-+(A_{n-1})l\quad\begin{cases}

A_{k}=(A_{k-1})r-+(A_{k-2})l\end{cases}\quad~または~\begin{pmatrix}A_{n+1}\\A_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}r&-l\\1&0\end{pmatrix}^n\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$$

z^2=&rz-+l\\z^3=&(r^2-+l)z-+rl\\z^4=&(r^3-+2rl)z-+(r^2-+l)l\\z^5=&(r^4-+3r^2l+l^2)z-+(r^3-+2rl)l\\

:$$z^n=\displaystyle\left[\sum_{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor}\binom{n-k-1}{k}(-1)^krr^{n-2k-1}l^{k}\right]z-\left[\sum_{k=0}^{\lfloor (n-2)/2\rfloor}\binom{n-k-2}{k}(-1)^krr^{n-2k-2}l^{k}\right]l$$

特に、 $$z=e^{i\theta}$$ のとき、$$r=2\cos\theta$$、$$l=-1$$ であることから

A_{k}=(A_{k-1})r(2\cos\theta)-(A_{k-2})=(\end{cases}~または~\begin{pmatrix}A_{k-n+1})(\\A_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\cos\theta)&-(A_1\\1&0\end{pmatrix}^n\begin{k-2pmatrix})1\\0\end{casespmatrix}$$

$$\{a,b\in\mathbb{R}\}、\{z\in\mathbb{C}\}$$ において、$$+1$$ と $$+i$$ を基底の元とする $$\mathbb{R}^2$$ 上の複素数 $$z=a+bi$$ を次のように二乗する。

z^2=&(a+bi)(a+bi)z\\=&(a+bi)(2a-(a-bi))cdot z\\=&2a(a+bi)-(az+bi\bar{z})(a-bi\bar{z})z\\=&2a(a+bi)-(a^2z+b^2)\\=&2a(a+bibar{z})z-\sqrtbar{a^2+b^2z}^2\\=&2\mathrm{Re}(z)z-|cdotp z|^2\\

ここで、$$r=2(z+\mathrmbar{Rez}(z)$$、$$l=|-\bar{z}\cdotp z|^2$$ と置くと

上記は またこの導出手順は、共役同士の和と積ができ、かつ、結合法則を満たす数（四元数など）であれば $$z\cdot\bar{z}=|z|^2$$（$$\bar{z}$$ は $$z$$ の共役）、すなわち「共役同士の積は偏角が相殺されて結果的に絶対値同士の積に一致する」という性質を利用したものであり、$$\bar{z}$$ を用いて導出を書き改めるなら  :$$z^2=z\cdot z=z\left(2in\mathrm{ReC}(z)-\bar{z}\right)=2\mathrm{Re}(z)z-|z|^2$$  となる。 この性質は $$z$$ が四元数など多元数であっても同様であり、また考慮すべき積が累乗のみであることからこの定理は多元数にも適用可能である。の範囲に限らず適用可能であることを示している。