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積分とは、不定積分と定積分の2種類があり、関数 積分には不定積分と定積分の2種類がある。関数 $$f(x)$$ の原始関数 $$F(x)$$ を求めるものが不定積分といい、を求めるものを不定積分と言い
厳密にはリーマン積分とルベーグ積分があるが、ここではリーマン積分のことを単に積分と呼ぶ。積分にはリーマン積分やルベーグ積分などの種類があるが、ここではリーマン積分のことを単に積分と呼ぶ。
この時、この時
積分
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$$\displaystyle{\int f(x)\ dx=F(x)+C}$$
この時、定積分は $$f(x)$$ と $$x$$ 軸、 $$x=a,\ x=b$$ という線に囲まれた部分の符号付き面積を表す。
==定義==
有界閉区間 $$[a,b]$$ 上で定義された有界な関数 $$f(x):[a,b]\to\mathbb{R}$$ に対しての定積分を定義する。
$$[a,b]$$ の分割
と表し下積分と呼ぶ。
$$\displaystyle{\overline{\int_a^b}f(x)\ dx=\underline{\int_a^b}f(x)\ dx}$$
と定める。
また、不定積分はある適当な実数 $$c$$ から変数 $$x$$ までの定積分に積分定数を加えたものとして定義する。
==区分求積法==
$$\displaystyle{\int_0^1f(x)\ dx=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}f\left(\frac{k}{n}\right)}$$
これだけでは汎用性が少ないので、次のように任意の閉区間 $$[a,b]$$ についての定義も存在する。
$$\displaystyle{\int_a^bf(x)\ dx=\lim_{n\to\infty}\frac{b-a}{n}\sum_{k=1}^{n}f\left(a+\frac{bk}{n}\right)}$$
==$$n$$ 変数関数の積分==
積分は $$1$$ 変数の実数値関数のみでなく $$n$$ 変数の実数値関数に対しても定義ができる。
本質は変わらないため、その定義は殆ど先程の定義を繰り返す事になる。
$$n\in\mathbb{N}$$ に対して、有界な関数 $$f:\Omega\to\mathbb{R}$$ の有界閉集合 $$\Omega\subset\mathbb{R}^n$$ 上での $$n$$ 重定積分を定義する。
$$\Omega\subset[a_1,b_1]×[a_2,b_2]×\cdots×[a_n,b_n]\in\mathbb{R}^n$$ となるような実数列 $$\{a_k\}_{k=1}^{n},\ \{b_k\}_{k=1}^{n}\in\mathbb{R}$$ を考え
$$\tilde{\Omega}=[a_1,b_1]×[a_2,b_2]×\cdots×[a_n,b_n]$$
という有界閉集合 $$\tilde{\Omega}$$ を定める。
この時、有界な関数 $$f(x_1,x_2,\dots,x_n)$$ に対し、次の関数 $$\tilde{f}:\tilde{\Omega}\to\mathbb{R}$$ を定める。
$$\tilde{f}(x_1,x_2,\dots,x_n)=\left\{\begin{eqnarray*}f(x_1,x_2&,&\dots,x_n)\hspace{10pt}&(&(x_1,x_2,\dots,x_n)\in\Omega) \\
&0& \hspace{10pt}&(&(x_1,x_2,\dots,x_n)\not\in\Omega)\end{eqnarray*}\right.$$
ここで、 $$\tilde{\Omega}$$ の分割
$$\Delta :a_j=i_{j1}<i_{j2}<\cdots<i_{jn}=b_j\hspace{10pt}(j=1,2,3,\dots n)$$
と定めると
$$\displaystyle{M_{i_j1i_j2\cdots i_n}=\sup_{[]}}$$
