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$$1$$ の原始 $$4$$ 乗根 $$z=e^{\frac{2\pi i}{3}}$$ のとき（$$2\cos\theta=0$$）
:$$\displaystyle\cos\left(x,e^{\pm\frac{\pi}{2}}\right)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{4k}}{(4k)!}-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{4k+2}}{(4kr4k+2)!}=\cos x$$
:$$\displaystyle\sin\left(x,e^{\pm\frac{\pi}{2}}\right)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{4k+1}}{(4k+1)!}-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{4k+3}}{(4k+3)!}=\sin x$$
