差分

実数 $$+1$$ と複素数 と絶対値が １ である任意の複素数 $$z=\mathbbe^{P}^\frac{m}{n}\cdot2\pi i}\left(=e\equiv\mathbb{P}^{\frac{m}{n}\cdot2\pi i}\right)$$ を基底の元とする $$\mathbb{R}^2$$ 上の半径 （$$z$$ の偏角によっては厳密には $$\mathbb{R}^2$$ を成さないが）を想定する。このとき、半径 $$e^{x\mathrm{Re}cos\left(2\mathbb{P}^pi\cdot\frac{m}{n}\right)x}$$ の円において、円周上の偏角 で示される螺旋軌道上で、偏角が $$x\mathrm{Im}sin\left(2\mathbb{P}^pi\cdot\frac{m}{n}\right)x~\mathrm{rad}$$ の座標を次のように示すことができる関数である。である場合の座標の実部と $$z$$ 部を次のように示す関数である。

これらの関数を具体的な数式は左辺のマクローリン展開形よりガラパゴ累乗定理を用いて表現可能だが、詳しくは:$$e^{xz}=\cos_\frac{m}{n}(x)+\sin_\frac{m}{n}(x)z$$  これらの関数 $$\cos_\frac{m}{n}(x)$$ と $$\cos_\frac{m}{n}(x)$$ の具体的な数式は左辺のマクローリン展開形よりガラパゴ累乗定理を用いて示すことができるが、詳しくは[[ガラパゴ三角関数]]を参照のこと。