Wikiいけめん
217
回編集
差分
ナビゲーションに移動
検索に移動
ページの作成:「==定義== \( ' \)は全て素微分を意味するものとする。 \( m \neq m' \)かつ\( m = m'' \)であるとき、\( m \)を素微分友愛数であるという…」
==定義==
\( ' \)は全て素微分を意味するものとする。
\( m \neq m' \)かつ\( m = m'' \)であるとき、\( m \)を素微分友愛数であるという。
また、簡単のため\( (m, m') \)の組を素微分友愛数であるということもある。
==結果==
* 結果1: \( n \)が素微分友愛数であるとき、\( n \)は平方因子を持たない。[[利用者:Nayuta Ito/素微分友愛数の研究の進展#結果1|証明]]
* 結果2: \( (p, q) \)が素微分友愛数の組のとき、\( p \)と\( q \)は互いに素である。[[利用者:Nayuta Ito/素微分友愛数の研究の進展#結果2|証明]]
* 結果3: \( (p, q) \)が素微分友愛数の組のとき、\( p \)と\( q \)の素因数の個数は合計で60個以上である。[[利用者:Nayuta Ito/素微分友愛数の研究の進展#結果3|証明]]
==証明==
===結果1===
(マリポーサ様)
<nowiki>
正整数nがn=n"となると仮定する。
nのある素因数pについて、n=p^im(mはpで割り切れない)と表すとすると、i<pでなければならない。
いまM=im+pm'とおく。
n'=p^(i-1)M
n"=(i-1)p^(i-2)M+p^(i-1)M'
n=n''より両辺をp^(i-2)で割って、
p^2m=(i-1)M+pM'⇔p*(pm-M')=(i-1)M
pは素数でi-1<pだからi-1はpで割り切れないので、M=im+pm'はpで割り切れる。
M/p=(im)/p+m'だが、i,mはともにpで割り切れないので不合理。
ゆえにn=n''は存在しない。
</nowiki>
===結果2===
(広く知られている)
無平方数\( n \)の素因数分解が\( n = p_1p_2 \cdots p_m \)であるとき、
\( n' = \sum_{i=1}^m \left(p_1,p_2,\cdots,p_mからp_iを除いたものの総積\right) \)
である。\( p_k \)について考えると、右辺の和のうち\( i = k \)の項だけが\( p_k \)の倍数でなく、残りは全て\( p_k \)の倍数である。
\( k \)は\( 1 \leq k \leq m \)の範囲で任意に取れるので、\( n' \)は\( n \)のどの素因数の倍数でもない。よって、\( n \)と\( n' \)は互いに素である。
===結果3===
(凍み豆腐程度の能力様)
AMGMより素微分友愛数m,nに含まれる素因数の逆数の総和は2より大きくならないといけなくて<ref>\( m' = n = xm, n' = m = yn \)とすると、\( m \)と\( n \)が無平方数であることと素微分の定義から\( x \)と\( y \)はそれぞれ\( m \)と\( n \)に含まれる素因数の逆数の総和であり、かつ\( mn = xymn \)であるから\( xy = 1 \)である。よってAMGM(相加相乗不等式)から\( x + y \geq 2 \)がいえる。また等号成立条件である\( x = y = 1 \)のときは\( m = n \)となり素微分友愛数の条件を満たさないため、\( x + y > 2 \)が成り立つ。</ref>
(最初の59個の素数の逆数和は2より小さく、最初の60個の素数の逆数和は2より大きいことを数値計算で確認する)
というわけでごり押しの結果、m,nに含まれる素因数の個数の合計は少なくとも60個であることが判明しました
==注==
<references />
\( ' \)は全て素微分を意味するものとする。
\( m \neq m' \)かつ\( m = m'' \)であるとき、\( m \)を素微分友愛数であるという。
また、簡単のため\( (m, m') \)の組を素微分友愛数であるということもある。
==結果==
* 結果1: \( n \)が素微分友愛数であるとき、\( n \)は平方因子を持たない。[[利用者:Nayuta Ito/素微分友愛数の研究の進展#結果1|証明]]
* 結果2: \( (p, q) \)が素微分友愛数の組のとき、\( p \)と\( q \)は互いに素である。[[利用者:Nayuta Ito/素微分友愛数の研究の進展#結果2|証明]]
* 結果3: \( (p, q) \)が素微分友愛数の組のとき、\( p \)と\( q \)の素因数の個数は合計で60個以上である。[[利用者:Nayuta Ito/素微分友愛数の研究の進展#結果3|証明]]
==証明==
===結果1===
(マリポーサ様)
<nowiki>
正整数nがn=n"となると仮定する。
nのある素因数pについて、n=p^im(mはpで割り切れない)と表すとすると、i<pでなければならない。
いまM=im+pm'とおく。
n'=p^(i-1)M
n"=(i-1)p^(i-2)M+p^(i-1)M'
n=n''より両辺をp^(i-2)で割って、
p^2m=(i-1)M+pM'⇔p*(pm-M')=(i-1)M
pは素数でi-1<pだからi-1はpで割り切れないので、M=im+pm'はpで割り切れる。
M/p=(im)/p+m'だが、i,mはともにpで割り切れないので不合理。
ゆえにn=n''は存在しない。
</nowiki>
===結果2===
(広く知られている)
無平方数\( n \)の素因数分解が\( n = p_1p_2 \cdots p_m \)であるとき、
\( n' = \sum_{i=1}^m \left(p_1,p_2,\cdots,p_mからp_iを除いたものの総積\right) \)
である。\( p_k \)について考えると、右辺の和のうち\( i = k \)の項だけが\( p_k \)の倍数でなく、残りは全て\( p_k \)の倍数である。
\( k \)は\( 1 \leq k \leq m \)の範囲で任意に取れるので、\( n' \)は\( n \)のどの素因数の倍数でもない。よって、\( n \)と\( n' \)は互いに素である。
===結果3===
(凍み豆腐程度の能力様)
AMGMより素微分友愛数m,nに含まれる素因数の逆数の総和は2より大きくならないといけなくて<ref>\( m' = n = xm, n' = m = yn \)とすると、\( m \)と\( n \)が無平方数であることと素微分の定義から\( x \)と\( y \)はそれぞれ\( m \)と\( n \)に含まれる素因数の逆数の総和であり、かつ\( mn = xymn \)であるから\( xy = 1 \)である。よってAMGM(相加相乗不等式)から\( x + y \geq 2 \)がいえる。また等号成立条件である\( x = y = 1 \)のときは\( m = n \)となり素微分友愛数の条件を満たさないため、\( x + y > 2 \)が成り立つ。</ref>
(最初の59個の素数の逆数和は2より小さく、最初の60個の素数の逆数和は2より大きいことを数値計算で確認する)
というわけでごり押しの結果、m,nに含まれる素因数の個数の合計は少なくとも60個であることが判明しました
==注==
<references />
