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$$\displaystyle G_n=\frac{\mathrm{Im}(z^n)}{\mathrm{Im}(z)}=\frac{z^n-\overline{z}^{~n}}{z-\overline{z}}=\sum_{k=0}^{n-1}\overline{z}^{~k}\cdot z^{n-k-1}$$
この数列は、次の三項間漸化式または表現行列により導出することができる。
:$$\begin{cases}
G_1=1\\
G_n=(z+\overline{z})G_{n-1}-(z\cdotp\overline{z})G_{n-2}
\end{cases}$$ または $$\begin{pmatrix}G_n\\G_{n+1}\\G_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1\\-z+\cdotp\overline{z}&-z\cdotp+\overline{z}\end{pmatrix}^n\begin{pmatrix}0\\1&0\end{pmatrix}$$ 特に $$|z|=1$$ のとき、$$\mathrm{Arg}~z=\theta$$ として $$\quad\begin{array}{rl}G_n=&\displaystyle\frac{\mathrm{Im}(z^n)}{\mathrm{Im}(z)}=\frac{\sin n\theta}{\sin\theta}=\sum_{k=0}^{n-1}z^{n-2k-1}\\=&\begin{pmatrixcases}n=2m~のとき&\cdots&\displaystyle 2\sum_{k=0}^{m-1}\cos(2k+1)\theta\\0n=2m+1~のとき&\cdots&\displaystyle 1+2\sum_{k=1}^m\cos2k\theta\end{cases}\end{pmatrixarray}$$
$$\displaystyle G'_n=\frac{\mathrm{Re}(z^n)}{\mathrm{Re}(z)}=\frac{z^n+\overline{z}^{~n}}{z+\overline{z}}~\underbrace{\left(=\sum_{k=0}^{2m}(-\overline{z})^{~k}\cdot z^{2m-k}\right)}_{n=2m+1~のとき}$$
この数列は、次の三項間漸化式または表現行列により導出することができる。
:$$\begin{cases}
G'_1=1\\
G'_n=(z+\overline{z})G'_{n-1}-(z\cdotp\overline{z})G'_{n-2}
\end{cases}$$ または $$\begin{pmatrix}G'_n\\G'_{n+1}\\G'_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1\\-z+\cdotp\overline{z}&-z\cdotp+\overline{z}\\1&0\end{pmatrix}^n\begin{pmatrix}1\\\frac{2}{z+\overline{z}\\~~1}\end{pmatrix}$$ 特に $$|z|=1$$ のとき、$$\mathrm{Arg}~z=\theta$$ として
$$\quad\displaystyle G'_n=\frac{\mathrm{Re}(z^n)}{\mathrm{Re}(z)}=\frac{\cos n\theta}{\cos\theta}~\underbrace{\left(=\sum_{k=0}^{2m}(-1)^{~k}\cdot z^{2(m-k)}\right)}_{n=2m+1~のとき}$$
==導出漸化式の検証==
三項間漸化式
$$\therefore~\mathrm{Re}~z\cdot(G_n-G'_n)=|z|^2\cdot G_{n-1}~\begin{cases}G_n&=G'_n+\frac{|z|^2}{\mathrm{Re}~z}\cdot G_{n-1}\\G'_n&=G_n-\frac{|z|^2}{\mathrm{Re}~z}\cdot G_{n-1}\end{cases}$$
このような相互関係を'''ガラパゴ数列の相互定理'''という。
==ガラパゴ数列の応用例応用例==
===ガラパゴ累乗定理===
ちなみに、この $$z$$ の一次式の係数を $$S_n=G_n$$、$$C_n=(-z\cdotp\overline{z})G_{n-1}$$、$$S_n=G_n$$ と表すならば、それぞれの数列は次のように行列の積でも表現可能である。
=&\displaystyle\frac{1}{z-\overline{z}}\begin{pmatrix}-\overline{z}&-z\\1&1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}z^n&0\\0&\overline{z}^{~n}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&z\\-1&-\overline{z}\end{pmatrix}\\
=&\displaystyle\frac{1}{z-\overline{z}}\begin{pmatrix}-(z\cdotp\overline{z})(z^{n-1}-\overline{z}^{~n-1})&-(z\cdotp\overline{z})(z^n-\overline{z}^{~n})\\z^n-\overline{z}^{~n}&z^{n+1}-\overline{z}^{~n+1}\end{pmatrix}\\=&\displaystyle\frac{1}{2\mathrm{Im}~z}\begin{pmatrix}-(|z|^2)(2\mathrm{Im}~z^{n-1})&-(|z|^2)(2\mathrm{Im}~z^n)\\2\mathrm{Im}~z^n&2\mathrm{Im}~z^{n+1}\end{pmatrix}\\=&\displaystyle\frac{1}{\mathrm{Im}~z}\begin{pmatrix}-(|z|^2)(\mathrm{Im}~z^{n-1})&-(|z|^2)(\mathrm{Im}~z^n)\\\mathrm{Im}~z^n&\mathrm{Im}~z^{n+1}\end{pmatrix}\\
\end{align*}$$