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特に、 $$z=e^{i\theta}$$ のとき、$$r=2\cos\theta$$、$$l=-1$$ であることから
$$\begin{pmatrix}A_{n+1}\\A_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\cos\theta&-1\\1&0\end{pmatrix}^n\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}~すなわち~
\begin{cases}
A_0=0\\
A_1=1\\
A_{n}=(A_{n-1})(2\cos\theta)-(A_{n-2})
\end{cases}
$$ として
黄金数を 黄金数とその逆数を $$\displaystyle z=\phi^{\pm1}=\left(\frac12\right)+\left(\pm\frac{\sqrt{-5}}{2}\right)i$$ と解釈して本定理を適用すると
:$$l=-\left(\frac12-\frac{\sqrt{-5}}2i\right)\left(\frac12+\frac{\sqrt{-5}}2i\right)=-\left(\frac14+\frac{-5}4\right)=1$$
:$$\begin{pmatrix}A_C_{n}&C_{n+1}\\A_nS_{n}&S_{n+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1\\1&1\end{pmatrix}^n\\~または~\begin{pmatrix}S_{n+1}\\S_{n}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}^n\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}~すなわち~\begin{cases}A_0S_0=0\\A_1S_1=1\\A_S_{n}=(A_S_{n-12})+(A_S_{n-21})
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'''ガラパゴ累乗定理'''（ガラパゴるいじょうていり）とは、複素数 $$z$$ の累乗は $$rl=z+\bar{z}\cdotp z=|z|^2$$ と $$lr=-z\cdotp\bar{z}=-|+z|^2$$ を用いた漸化式より得られる数列 $$A_n$$ を用いて $$+1$$ と $$z$$ の一次結合の形で表せるという定理である。
[[ガラパゴ数学]]の主定理の一つで、$$+1$$ と $$+z$$ を基底の元とする $$\mathbb{R}^2$$ 斜交平面上の幾何を扱うことを主目的として [[みゆ]] によって導出された。
== 概要 ==
複素数 $$z$$ の 整数 $$n$$ 乗は、$$rl=z+\bar{z}\cdotp z=|z|^2\mathrm{Re}(z)$$ と $$lr=-z\cdotp\bar{z}+z=-|2\mathrm{Re}(z|^2)$$ を用いて次のように表せる。
$$\begin{pmatrix}A_C_{n}&C_{n+1}\\A_nS_{n}&S_{n+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&-l\\1&r\end{pmatrix}^n\\~または~\begin{pmatrix}S_{n+1}\\S_{n}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}r&-l\\1&0\end{pmatrix}^n\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}~すなわち~\begin{cases}A_0S_0=0\\A_1S_1=1\\A_S_{n}=-(A_S_{n-12})rl+(A_S_{n-21})lr\end{cases}~として$$ として
:$$z^n=(A_C_{n}+S_{n})z+=-(A_S_{n-1})l+S_{n}\\$$
:$$\begin{array}{l}
z^1=&0+z\\z^2=&-l+rz+l\\z^3=&-rl+(-l+r^2+l)z+rl\\z^4=&-(-l+r^32)l+(-2rl)z+(r^2+l3)lz\\z^5=&-(-2rl+r^43)l+(-3r^2l+l^2)z+(r^3+2rl4)lz\\
&\quad\quad\quad\vdots\\
\end{array}$$
:$$z^n=\displaystyle-\left[\sum_{k=0}^{\lfloor (n-12)/2\rfloor}\binom{n-k-12}{k}r^{n-2k-12}l^{k}\right]zl+\left[\sum_{k=0}^{\lfloor (n-21)/2\rfloor}\binom{n-k-21}{k}r^{n-2k-21}l^{k}\right]lz$$
特に $$z=e^{i\theta}$$ のとき、$$l=1,~r=2\cos\theta$$ であることから
$$\begin{pmatrix}C_{n}&C_{n+1}\\S_{n}&S_{n+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&-1\\1&2\cos\theta\end{pmatrix}^n\\
~または~\begin{pmatrix}S_{n+1}\\S_{n}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\cos\theta&-1\\1&0\end{pmatrix}^n\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}
~すなわち~\begin{cases}
S_0=0\\
S_1=1\\
S_{n}=-(S_{n-2})+(S_{n-1})(2\cos\theta)
\end{cases}~として$$
:$$z^n=A_C_{n}+S_{n}z=-A_(S_{n-1})+S_{n}\\$$
:$$\begin{array}{l}
z^1&=0+z&\\z^2&=rz-1+rz&=-1+(2\cos\theta)z-1\\z^3&=-r+(-1+r^2-1)z-r&=-(2\cos\theta)+[(2\cos\theta)^2-1]z-(2\cos\theta)\\z^4&=-(-1+r^32)+(-2r)z-(+r^2-13)z&=-[(2\cos\theta)^32-21]+[(2\cos\theta)]z^3-[2(2\cos\theta)^2-1]z\\z^5&=-(-2r+r^43)+(-3r^2+1)z-(+r^3-2r4)z&=-[(2\cos\theta)^43-32(2\cos\theta)^2]+1]z-[(2\cos\theta)^4-3-2(2\cos\theta)^2+1]z\\
&\quad\quad\quad\vdots\\
\end{array}$$
:$$z^n=\displaystyle-\left[\sum_{k=0}^{\lfloor (n-12)/2\rfloor}\binom{n-k-12}{k}(-1)^k(2\cos\theta)^{n-2k-12}\right]z-+\left[\sum_{k=0}^{\lfloor (n-21)/2\rfloor}\binom{n-k-21}{k}(-1)^k(2\cos\theta)^{n-2k-21}\right]z$$
\begin{align*}
z^2=&z\cdot z\\
=&((z+-\bar{z})-+\bar{z}+z)z\\=&(z+-\bar{z})\cdotp z-+(\bar{z}\cdotp +z)z\\
\end{align*}
ここで、$$rl=(z+\bar{z})$$、$$l\cdotp z,~r=-(\bar{z}\cdotp +z)$$ と置くと
\begin{align*}
z^2=-l+rz+l
\end{align*}
両辺に $$z$$ を乗じると $$z^3=-lz+rz^2+lz$$ となり、右辺に $$z^2=-l+rz+l$$ を代入することで一次結合の形へと変形できる。この操作を再帰的に繰り返し、任意の整数乗を同形へと帰結させることで漸化式を得る。
==黄金数・フィボナッチ数列との関係性==
:$$l=\left(\frac12-\frac{\sqrt{-5}}2i\right)\left(\frac12+\frac{\sqrt{-5}}2i\right)=\left(\frac14+\frac{-5}4\right)=-1$$
:$$r=2\times\frac12=1$$
\end{cases}$$
:$$z^n=A_C_{n}z+A_S_{n}=S_{n-1}+S_{n}z$$
この $$A_nS_n$$ はフィボナッチ数列と同一であり、黄金数とフィボナッチ数列の関係式
