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差分
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と定義する。
:$$\begin{align*}
\Delta x^{\underline n}&=(x+1)x(x-1)(x-2)\cdots(x-n+2)-x(x-1)(x-2)\cdots(x-n+1)\\
&=\{(x+1)-(x-n+1)\}x(x-1)(x-2)\cdots(x-n+2)\\
&=nx^{\underline{n-1}}
またこの性質を用いると、
:$$\displaystyle{\begin{align*}
\sum_{x=1}^nx^2&=\sum\nolimits_1^{n+1}x^2\\
&=\sum\nolimits_1^{n+1}\{x(x-1)+x\}\\
&=\sum\nolimits_1^{n+1}\{x^{\underline2}+x^{\underline1}\}\\
\end{align*}}$$
など $$n$$ 乗の和の公式を導くことができる。
===積の差分と部分和分===
積の微分に対して積の差分は
:$$\displaystyle{\begin{align*}
\Delta\{f(x)g(x)\}
&=f(x+1)g(x+1)-f(x)g(x)\\
&=f(x)g(x+1)-f(x)g(x)+f(x+1)g(x+1)-f(x)g(x+1)\\
&=f(x)\Delta g(x)+g(x+1)\Delta f(x)
\end{align*}}$$
となり、両辺を不定和分し整理することによって部分和分
:$$\displaystyle{\sum f(x)\Delta g(x)=f(x)g(x)-\sum g(x+1)\Delta f(x)}$$
を導ける。
==注==
<references group="注"/>
