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\[\newcommand{\bm}[1]{\boldsymbol{#1}}
m\ddot{\bm{x}}=\bm{F}\]
* \(m\) :質点の質量：質点の質量(定数)* \(\bm{F}\) :質点にかかる合力：質点にかかる合力( \(t\) の関数)* \(\bm{x}\) :質点の位置ベクトル：質点の位置ベクトル( \(t\) の関数)
\[m\ddot{\bm{x}}=\left(
\begin{array}{c}
\[\dot{\bm{x}}=\left(
\begin{array}{c}
\frac g\omega\cdot\ln(\omega t+1)+a\\gt+c\\0p\end{array}\right)\]\[\bm{x}=\left(\begin{array}{c} \frac g{\omega^2}\left((\omega t+1)\cdot\ln(\omega t+1)-\omega t\right)+at+b\\\frac12gt^2+ct+d\\pt+q
\end{array}\right)
\]
( \(a,b,c,d,p,q\) は定数)
最初の速度は \(\bm{0}\)、位置ベクトルは \(\bm{0}\) なので(初期条件)、
\[\bm{x}=\left(
\begin{array}{c} \frac g{\omega^2}\left((\omega t+1)\cdot\ln(\omega t+1)-\omega t\right)+at+b\\\frac12gt^2+ct+d\\0
\end{array}\right)
\]
===複数まとめて扱う===
質量 \(m\) の質点 \(P\) と質量 \(M\) の質点 \(Q\) が時刻 \(t=0\) でどちらも原点に静止していた。\(P\) は \(Q\) 以外から \(x\) 軸方向に \(f'(t)\)、\(Q\) は \(P\) 以外から \(x\) 軸方向に \(g'(t)\)の力をかけられている。\(P\) と \(Q\) は互いに力を及ぼし合うが、このときの重心の \(x\) 座標を \(t\) の関数として求める。
----
\begin{cases}
m\ddot{p}=f'(t)+F\\
M\ddot{q}=g'(t)-F\\
G=\frac{mp+Mq}{m+M}
\end{cases}
この連立方程式を解く。ただし \(G\) は重心の座標、\(p\) は \(P\) の座標、\(q\) は \(Q\) の座標。また、\(F\) は \(Q\) が \(P\) に伝える力である。
上式、中式より
\begin{eqnarray*}
m\ddot{p}+M\ddot{q}&=&f'(t)+g'(t)\\
m\dot{p}+M\dot{q}&=&f(t)-f(0)+g(t)-g(0)\\
mp+Mq&=&\int^t_0(f(s)+g(s))ds-(f(0)+g(0))t
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
G &=&\frac{mp+Mq}{m+M}\\
&=&\frac1{m+M}\left(\int^t_0(f(s)+g(s))ds-(f(0)+g(0))t\right)
\end{eqnarray*}
===時刻でなく位置が変数の関数===
質量 \(m\) の物体の座標が \(x\) のときに \(+x\) 方向に\(ma\cdot f'(x) (>0)\) の力をかける場合、速さを \(t\) を用いずに \(x\) で表す。ただし時刻 \(t=0\) の時の速さは0。( \(a\) は定数)
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\[m\ddot{x}=ma\cdot f'(x)\]
\[\int\ddot{x}dx=a\int f'(x)dx\]
\[\frac12|\dot{x}|^2=a(f(x)-f(0))\]
\[|\dot{x}|=\sqrt{2a(f(x)-f(0))}\]