質点とみなせる物体の運動は大抵次の式で表す。\[m\ddot{x}=F\[大学入試と「物理」]]において'''質点の方程式'''とは、質点の運動を表す手段の呼び名である。
ここで[[大学入試と「物理」]]では[https://ja.wikipedia.org/wiki/ニュートンの運動方程式 (ニュートンの)運動方程式]と呼ばれているものを用いる。 \[\newcommand{\bm}[1]{\boldsymbol{#1}}m\ddot{\bm{x}}=\bm{F}\] * \(m\)は質点の質量：質点の質量(定数)* \(\bm{F}\) ：質点にかかる合力( \(t\) の関数)* \(\bm{x}\) ：質点の位置ベクトル( \(t\) の関数) これはいわゆる微分方程式である。 ==使い方の例=====単純な例===時刻 \(t=0\) に、質量 \(m\) の質点 \(P\) が原点で静止している。ここで \((\frac{mg}{\omega t+1},mg,0)\) の力をかける。この時の質点の座標を \(t\) の関数として求める。( \(g,\omega\) は定数)----時刻 \(t\) での \(P\) の座標を \(\bm{x}\) とすると、\[m\ddot{\bm{x}}=\left(\begin{array}{c} \frac{mg}{\omega t+1}\\mg\\0\end{array}\right)\]\[\ddot{\bm{x}}=\left(\begin{array}{c} \frac g{\omega t+1}\\g\\0\end{array}\right)\]\[\dot{\bm{x}}=\left(\begin{array}{c} \frac g\omega\cdot\ln(\omega t+1)+a\\gt+c\\p\end{array}\right)\]\[\bm{x}=\left(\begin{array}{c} \frac g{\omega^2}\left((\omega t+1)\cdot\ln(\omega t+1)-\omega t\right)+at+b\\\frac12gt^2+ct+d\\pt+q\end{array}\right)\]( \(a,b,c,d,p,q\) は定数) 最初の速度は \(\bm{0}\)、位置ベクトルは \(\bm{0}\) なので(初期条件)、\[\bm{x}=\left(\begin{array}{c} \frac g{\omega^2}\left((\omega t+1)\cdot\ln(\omega t+1)-\omega t\right)\\\frac12gt^2\\0\end{array}\right)\] ===複数まとめて扱う===質量 \(m\) の質点 \(P\) と質量 \(M\) の質点 \(Q\) が時刻 \(t=0\) でどちらも原点に静止していた。\(P\) は \(Q\) 以外から \(x\) 軸方向に \(f'(t)\)、\(Q\) は \(P\) 以外から \(x\) 軸方向に \(g'(t)\)の力をかけられている。\(P\) と \(Q\) は互いに力を及ぼし合うが、このときの重心の \(x\) 座標を \(t\) の関数として求める。----\begin{cases} m\ddot{p}=f'(t)+F\\ M\ddot{q}=g'(t)はその質点にかかる合力であり、-F\\ G=\frac{mp+Mq}{m+M}\end{cases}この連立方程式を解く。ただし \(G\) は重心の座標、\(p\) は \(P\) の座標、\(q\) は \(Q\) の座標。また、\(F\) は \(Q\) が \(P\) に伝える力である。上式、中式より\begin{eqnarray*}m\ddot{p}+M\ddot{q}&=&f'(t)+g'(t)\\m\dot{p}+M\dot{q}&=&f(t)-f(0)+g(t)-g(0)\\mp+Mq&=&\int^t_0(f(s)+g(s))ds-(f(0)+g(0))t\end{eqnarray*}\begin{eqnarray*}G &=&\frac{mp+Mq}{m+M}\\ &=&\frac1{m+M}\left(\int^t_0(f(s)+g(s))ds-(f(0)+g(0))t\right)\end{eqnarray*} ===時刻でなく位置が変数の関数===質量 \(m\) の物体の座標が \(x\) のときに \(+x\) 方向に\(ma\cdot f'(x) (>0)\) の力をかける場合、速さを \(t\) を用いずに \(x\) で表す。ただし時刻 \(t=0\) の時の速さは0。( \(a\) は定数)----\[m\ddot{x}=ma\cdot f'(x)\]\[\int\ddot{x}dx=a\int f'(x)dx\]\[\frac12|\dot{x}|^2=a(f(x)-f(0))\]\[|\dot{x}|=\sqrt{2a(f(x)は位置ベクトルである。-f(0))}\]