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差分
積分
,$$\displaystyle{\overline{\int_a^b}f(x)\ dx=\inf_{\Delta}S_\Delta}$$
$$\displaystyle{\underline{\int_a^b}f(x)\ dx=\sup_{\Delta}s_\Delta}$$
と表し下積分と呼ぶ。
この時、
$$\displaystyle{\overline{\int_a^b}f(x)\ dx=\underline{\int_a^b}f(x)\ dx}$$
が成立する時に $$f(x)$$ は積分可能であると言い、
$$\displaystyle{\int_a^bf(x)\ dx$$
と表し、その値を
$$\displaystyle{\int_a^bf(x)\ dx=\overline{\int_a^b}f(x)\ dx=\underline{\int_a^b}f(x)\ dx}$$
と定める。