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差分
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差分の逆演算をしたもの、すなわち
:$$\displaystyle{\Delta \sum f(x)\,\delta x=f(x)}$$
を満たす $$\sum f(x)\,\delta x$$ を $$f(x)$$ の'''不定和分'''と呼ぶ。
上述の通り差分は元の関数の定数項に関係ないため、不定和分は不定積分と同様に和分定数が生じる。
となる。
また、$$F(x)=\sum f(x)\,\delta$$ とした時、上で示した式と前節の不定和分の定義より
:$$\displaystyle{F(x)=\sum\nolimits_a^xf(t)\,\delta t+C}$$
:$$\displaystyle{\Delta kf(x)=k\Delta f(x)}$$
:$$\displaystyle{\Delta\{f(x)+g(x)\}=\Delta f(x)+\Delta g(x)}$$
:$$\displaystyle{\sum kf(x)\,\delta=k\sum f(x)\,\delta}$$:$$\displaystyle{\sum \{f(x)+g(x)\}\,\delta=\sum f(x)\,\delta+\sum g(x)\,\delta}$$
===下降階乗===
\end{align*}$$
となり、和分差分学の基本定理より
:$$\displaystyle{\sum x^{\underline n}\,\delta=\frac{x^{\underline{n+1}}}{n+1}}+\text{const.}$$
が従う。
<ref group="注">下降階乗は整数全体にも拡張できる。ただし上式が成立するのは $$n\neq -1$$ であることに注意する。</ref>
\end{align*}}$$
となり、両辺を和分し整理することによって部分和分
:$$\displaystyle{\sum f(x)\Delta g(x)\,\delta=f(x)g(x)-\sum g(x+1)\Delta f(x)\,\delta}$$
:$$\displaystyle{\sum\nolimits_a^b f(x)\Delta g(x)\,\delta x=\left[f(x)g(x)\right]_a^b-\sum\nolimits_a^b g(x+1)\Delta f(x)\,\delta x}$$
を導ける。